VII. Déterminer la véritable valeur de

f [h) sin (x -t- 3 h) — 3sin (x -t-2 h) -t»3sin(x4-A) — sinx Vjk) “ ’ Â*“

pour A=û

f (0) = sin x — 3 sin x -h 3 sin x — sin x = 0.-

f (A) = 3 cos (*•+ 3 A) — 6 coâ (x 4 - 2 A) -t- 3 cos (x +■ A). F* (A) =± 3 A 1 .

/"(A) cos(an-3A)— 2cos(x q-2A)4-oos(x4-A) f'[ 0)/ 0 F'(A) ~ ’ A a F* (0) ë* .

f" (A) == 3 [ — 3 sin (x 4- 3 A) -f 4 sin (x 4- 2 A) — sin (x 4- A) ].

f" (A) — 3 sin (x -t- 3 A) -t- 4 sin (X 4- 2 A) — sin (x 4- A) f" (0) 0

F]SJ 1 Tk r ~ : “^ — ô‘

f"'{ A)= 3 [ r— 9 cos (x 4- 3 A) + 8 Cos (x -t- 2 A) *-coS(x 4- *)].

f" (A) — 9cos(x4-3A)m-8cos(x4-2A)— cos(x4-A) f‘ u (0)

F" (A) 2 F'"(0) cosx ‘

Donc : , 1 ’ »

Lim f (0) ~ Lim f:( 0) ~ Lim F" (ô) * L,m . F(ô) — cosx '

DES EXPRESSIONS oui DEVIENNENT — POL'B CNE CERTAINE hypothèse de

go • .

LÀ VAR1ABLB.

Supposons que pour x 5» a, l’expression devienne — , c’est-à-

dire que l’on ait :

Je dis que la limite est encore , comme pour les expressions qui deviennent g.

En effet l’expression peut s’écrire ainsi :

Et pour x — a, puisque F (a) = ao , f[a) ='a> , on a :

Fjô) — 0’. 4-

* * • * \ « *vÿ i7?é

Si donc à l’expression on applique la règle donnée précédem-

ment ( page 134), on aura, d’après le principe de la dérivée d’un quotient :

.- fM . *:

Um fu! = L im ”^2r-

Cette équation donne successivement :• .

Um^j^ LimÇ^. Lia.

d’où enfin :

1 = Lim 7$' Lim W

fjm 4% = Lim riî

Donc : *»' une e xpreuion fractionnaire devient — pour une certaine valeur de la variable, il faut , pour avoir ea V iritable valeur : remplacer chacune de* fonction t par ta dérivée el introduire dans le quotient de ce* dérivée» la valeur particulière de la variable.

» -jÉÊ. V*?

CONDITIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM D UNE PONCTION D UNE SEULE , VARIABLE*

(Jh dit qu’une fonction f (x) est maximum, pour une certaine valeut a de x; lorsque la valeur de cçltc fonction est plut grand» que les valeurs ' {[ a — A) et /(a -t- A) correspondantes aux valeurs — h et a + A infi-

niment voisines de a.

Ainsi, pour x = a la fonction f[x) devient maximum si l’on at, ,. ' f(a) >f(a-h)

rw

| h étant infiniment petit.

Une fonction f[x) est dite mintmum, pour une Certaine' videur a de x; lorsque la valeur ([a] de cette fonction est plitt petite que les valeurs f[ a — A et f( a 4- A ) correspondantes aux valeurs a — A pt a + h infiniment voisines de a. .<■’ s . - * 1

Ainsi, pour r = a, la fonction f(n devient minimum si l’on a :

f[T<rÏÏ+'ü t * •’ anl in * i, " D,c,rtp ® liL .< ...” •

La série de Taylor donne : ’ .. » »

.et, (S |

JNv ’ • , t . -I .•> ..... nUi * «u.> |v« . .)|'m

Donc si pour x *=■ «,/(«) est un maximum ou un minimum, les seconds membres de «es équations devront être tous deux négatifs ou tous deux positifs, A étant infiniment pe.tift.

Celte condition 41 c pourra être satisfaite qu’aulant que le premier terme sera nui, cor A étant infiniment petit, le aigue du second membre est celui du premier terme. . •

Donc si a rend maximum ou. minimum U fonction (U), on doit avoir :

C'est-à-dire que : toute valeur de x qui rendra maximum ou minimum une fonction d'x, est racine de l'équation f I») = 0, laquelle s’obtient en égalait à zéro, la dérivée de la fonction proposée.

Pour une valeur a de x qui reud une fonction maximum ou minimum, analyse. • 18

. «ta

le» équations précédentes deviennent :

; f[a+h)-f[a) = ^fl'(a)+\ v

ri» -h) — r w=

Et pnisquë k est infiniment petit, le signe dn second membre est celui de ton premier terme.

Donc : •

flo) est maximum si f[' (a) est ■< 0.

/(a) est minimum si f “ (a) est ;> 0.

Les conditions de maximum sont donc : ; ,

rw.Wo v • ;rw<o. • • . .

Et les conditions de minimum sont :

Si Von avait [*\af= 0, pour qu’il y ait maximum il faudrait que l’on eût :

. ^ • rw-°- f*w< «•' ■

Et pour qu’il y eût minimum, on devrait avoir :

rw- o.-

Remarque . — Puisque pour une valeur d’or, ‘ qui rend maximum ou minimum une fonction d’x, on a f (ar) = 0, il en résulte que pour une ordonnée maximum ou minimum de la courbe y '= f(x) la tangente est parallèle à l'axe de» as. • : : . ■ * i

- t Application t.

|. Déterminer le maximum ou le minimum ée la fonction ' " ‘

, ... : - • /» = sin <r cos c. . v

Ici : ' '

f‘ (x)'= cosfr i— sin*T r= cos ïr.

• f(x) = — 2 sin Sx. ,

Les valeurs qui rondcnt f(x) maximum ou minimum sont données par l'équation : . •• •. *•

cos 2x = 0. .* » o