DIFFÉRENTIELLE DS LAIRE D VMS COURBE PLANE

1. Axei rectangulaire.’— Soit une, courbe A P, rapportée à des axes „ ' , .rectangulaires et dont l’équation

. j- y ■ S éstÿ = f(4 -

... j. . ; • •; . ■ ■>. Si l'on considère- l'arc AB de

. < .. celte courbe, l'aire de cette courbe

/ > est la portion de surface AaBi comprise èntre les ordonnées ex- - / • ' trémet A a," flfc, Taxe des x et

N | — yÀ l aro AB,

» .=£ J» . • Appelons A l’aire AaiB ; alors

pour un. accroissement bc de l'abscisse Ofc, l'aire A prend l’accroisr - j sement B4dC, et l'on à :

aA 3 = B6eC.

Or. sur Ja figure ;

... . . . rectangle BMùe < aA <; rectangle éeNC. .

Ou bien, eu appelant x et y le» coordonnées du point extrême B,

y Ax <. aA < (y 4- Ay) Ax.

D’où: . ' ’

. aA

•J + Ay.

Bar suite, si l o» passe à la limite de ax, aA devient dk, et les ordonnées y et y -KAy deviennent égales, en sorte que i'on a :

dk

— y. D'où dk = y.dx.

Telle est l'expression de Ja différentielle de l’aire d’une courbe plane. U. Coordonnées polaires .• — L’aire d’une courbe polaire, est la surface

comprise entre uii arc de cette confbé et lès rîtÿons vecteurs des extrémités de cet arc.

Ceci posé, soit un point M dont les coordonnées polaires sont :

OM=r. Mûx^a.

Si l'on donne à l'angle 9, l’accroissement MOM'= AÉ, l’accroissement de l'aire -est la surface MOM', et f dn a

* rfA = Lim. surface MOP. . . . ‘ . (1)

MP étant i’arc de cercle, décrit de 0 comme centre avec OM ou r pour rayon. ...

La surface MOP est celle d'un secteur circulaire, et l’on a :

surf. MOP = ^ r. arc MP.

Or :

arc MP = r. aô.

Donc : . • . .....

• surf. MOP = a«. '

Et l’équation (t) devient alors : ' *

Telle est l'expression de la différentielle de Taire d’une courbe, rapportée à des coordonnées polaires.