DE LA COURBURE BT DU RAYON DE COURBURE

Soient un cercle de centre 0,’et une droite PQ tracée dans son plan

et que nous prendrons pour axe des x. ■ -

- Supposons que sur la circonférence, on compte les arcs à partir d’un point fixe A ; considérons deux points voisins M, M'; menons les tangentes au cercle en Met M', et appelons « et «T les angles que font ces tangentes avec l'aie PQ. Alors, en menant les rayons orf, DM', on a :

R étant le rayon du cercle.

Ou bien, si l’on appelle » Tare AM,

ANALYSE

D’où : •

ur> .

.1 lv •

Et à la limite •

Le rapport qui est constant et égal à l'inverse du rayon, représente

par défimtiùn la courbure de la circonférence. On voit donc que la courbure d'une même circonférence est constante pour tous ses points.

Remarque ntr la ligné droite. — Le ligne droite peut être considérée comme une circonférence de rayon intiivi ; alors pour la ligne droite

fia. ‘ • '

— = 0, c cst-à-cjirc que la Hgne droite n’a pas de courbure.

r.eacLK t>* couMtcitfe es tnt- eofcr o'uae coi rdk qi ei.covqik.

Soit «ne courbe AD: et soient trois points M, M’,> M" infiniment Voisins pris sur cette courbe. Par ces trois points, on peut faire passer un corde. .

Si l’on suppose que les trois . ..points M,M' et M" se rapprochent indéfiniment du point M en restant toujours sur la courbe ; la position limite, du cerclé qui passe par çes trois pointe, est un cercle de centre C, lequel jouit évidemment des propriétés suivantes :

1° Attendu que les cordes MM' et M'M'', deviennent deux tangentes infiniment voisiner de la courbe au point M. Ce cercle est tangent a la courbe au poipl M, son centre est donc sur la normale à la convlie menée en ce point, et de plus Ce centre est le point de-rencontre des deux normales infiniment voisines menées en M et dans le voisinage de ce point.

2* Les deux tangentes infiniment voisines MM' et M'M" du . cercle et «le la courbe se confondent; donc pour la cercle et poiir la courlie l’angle da est le même.’

3” L’arc il * du cercle de centre C, compté à partir de M, se confond avec l’arc de de la courbe compté à partir du ménie point M.

La courbure de la courbe au point M est donc celle du cercle de centre C au point M : or la cogrbtwe du cercle étant la même quel que soit le point considéré de ce cercle, et cette courbure ayant pour expression

. du

Il en résulte que la courbure de la courbe au point M a pour expression ce rapport étant.tiré de leqaatktit y *= f{x) d» la courbe. Ce

rapport déterminé, il faudra y remplacer x et y par les coordonnées du point M considéré. ’ :

Le rayon de courbure de la courbe au point M « donc pour expression * • ,

CALCUL DU BATON DE COURBURE d'ÛXB COURBE DONT LÉpCATION RST DONNÉE.

Soit y ~ f[x) l’équation d’une courbe rappo/tée à des axes recüntjjulaires ; puisque : - J

dt

H s’agit de âtteujef d# et afin d'avoir K; ’

On a trouvé : •' ' •

.. ■<h = (Hx* + d,j>f ~: t Lr\ ! -H (g)’j .

Cette formule a tien, <[ne tr soit 'ou ne soit , pas la ‘variable indépon dante.

Pour calculer du, supposons d’abord * variable indépendante.

On a : v

■ dy

'fi ■

La différentiation de celte équation donne'

• cos’ot dx

El puisque x est la variable indépendante : •

* 1 * H r.~ dx '

HR

On a donc :

Ou bien :

Par suite :

' dx <Py COS* a ~i* '

d* (l+tg* a) = ^.

Et à cause de (lj

<Py'

dx

1 4* tg’a

. dx

Doù

t/et d*y

tte

d’y ' dx 1

Telle est, x étant la variable indépendante, l’expression du rayon de courbure en un point *, y d’une courbe.

Les dérivées ^ sont tirées de l’équation, y =/ (x) de la courbe,

çt dans ces dérivées on doit remplacer x et y par les coordonnées du point particulier, pour lequel on veut établir la courbure de la courbe.

Si x n'est pas la variable indépendante, la différentiation de l’équation

- . dy

donne :

d’y. dx — iPx. dy tte*

dx ( 1 4- tg’ac ) =

Ou bien et successivement : • •• . . •

dy ’ -4- dx ’ j d*y. dx — d } x. dy

dx ^

dx»

tte*

, d’y. dx — tPx. dy = - -~ dy * TdP ’

UQ

Et A cause de (t), on a :

ilt „ (d^/ , 4- dx 1 )

. du ° U ÿi/. dx — <Ar. rfy'

Telle est, a- n’étant pas la variable indépendante, l’expression dn rayon de courbure.

Dl' CENTRE DK COURBURE.

Le centre C du cercle de courbure est dit le centre de courbure de la courbe au point M ; pour obtenir ce centre de courbure , il suffit de prendre sur la normale menée à la courbe en M et à partir de.ee point, une longueur égale au- rayon R que l’on vient de calculer. •

Il ne peut y avoir de doute sur le Sens de la direction de la normale, suivant lequel on doit porter le rayon R, pour avoir le eentre : on - remarquera que le centre d’un cercle est toujours dans l’intérieur dn cercle, c'est-à-dire dans sa concavité : et puisqu'au point M de la courbe, l’élément du de la courbe se confond avec l’élément ds du cercle, il en résulte que le centre de courbure eu M devra se trouver dans la concavité de la courbe.

Remarque. — L’angle d*. que forment deux tangentes infiniment voisines est dit l'anyle de contingence. .. . . :

EXPRESSION Dl RA VOS DE COt'RM’ftB dT'NE COCHEE RAPPORTÉE A DES • COORDONNÉES POI.AIHES.

Les axes -étant supposés rectangulaires, si l’on prend pour axe po- 1 laipe, l'axe des s et pour pôle, l’origine : •

On a :• . ' -

x =.r. cos fl. y =* r sin fl.

En diffé rendant successivement ces équations, on trouve, eu .y considérant 0 comme variable indépendante :

<£r = cos fl. dr — r. sin fl. i 14.

dy — sin 6. ib- -i -, r. cos 4. rffl.'

•Ps •?= cos fl. d ! r — 2 sin fl. dr. dl — r cos fl. dj*. d*y — sin 4. d ? r -4- 2 cos-A. dr. df) — r siq fl. d fl J .

Si l’on porte ces valeurs dans l’expression

Ur’ + df r , dx. ’tPy — dy. tPx-

du rayon de courbure, déterminée dans l'hypothèse où -x n'est pas la variable indépendante, on trouve, toutes réductions faites :

drj

Telle est l’expression du. rayon de. uuurburv d'une court>e rapportée à'des coordonnées polaires. ,