AU

Kt, si dans cette équation, on remplace u* par sa yaleur (ai, on aura :

Mj = U, 4" AB, -+- A («, 4“ AU,) ou bien, d’après la remarque faite ci-dessns :

u, = M, 4- au, 4 - au, 4- A ! u,.

Et, par suite : •• . - v - •

[b) u, = u, + 2 Au, -+- À’u,.

Cette équation combinée de la même manière avec l’équation u, — u 3 = Au 3 , donne après toute réduction de calculs :

On trouvera de même t ' *

(d) « 5 = u, 4- 4 au, 47 ti a*», 47 4 A s u, 4 - A 4 », ,.

(«J.,.,. u 6 = u, 4- 5 au, 4 - 10 A 1 !/, '4- 10 A s u, 4 - 5 A*u-, 4 - a s u, ,-

et ainsi de suite.

L'inspection des seconds membres des équations (li), (6)', (c) , (d), (e), montre que leurs coefficients sont ceux des termes deS développements des puissances (x 4-o), (x 4- a)*, (x 4- a) J , -t- a) 4 et’(x 4- a)*.

• Les indices de A sont précisément les exposants dé a dans les développements de ces mêmes puissances.

On a donc par analogie :

u„ + * .= u, 4- n AU, 4- " ^ 1 1 ■ A*u, 4-.,... + « A " -1 u, 4 - A u,.

Telle est l’expression cherchée.

DE L’iîtTERPOI.ATlOlt.

Insérer entre les termes d’une suite, assujettis à une certaine loi, de nouveaux termes assujettis à la même loi. .

Tel est le problème de l'interpolation.

Ce problème est d'une grande facilité parfois, lorsque la loi des termes est connue. — C’est ainsi qu’entre deux termes d’urie progression , on peut insérer un certain nombre de moyens.

Si l'on considère, au contraire, des nombres dont la loi soit inconnue, le problème de l’interpolation devient indéterminé, et pour le résoudre, il faut imposer aux termes inconnus une condition qui fasse disparaître l’indétermination.

Cette condition est le plus souvent que : les différences et un certain ordre soient égales à zéro.

• C’est ainsi que, dans le calcul numérique des logarithmes , on admet que les différences secondes sont nulles; car, admettre qne l’aCcroissement des logarithmes soit proportionnel à celui des nombres , c'est admettre que, pour des accroissements égaux des nombres, les accroissements des logarithmes sont aussi égaux ; én d’autres termes , c’est admettre que la différence première des logarithmes soit constante et que , par suite , la différence seconde soit nulle. ,

, Alors que , dans la construction d’une table, on s’apercevra que les différences d'un certain ordre deviennent jle plus en plus petites , Sensiblement nulles, pour des accroissements égaux de la variable: on admettra que ces différences sont nulles et à fortiori , qu’il en serait de même pour des accroissements plus petits.

Ce fait reconnu et le principe admis , le problème de l'interpolation -'Mat s’énoncer ainsi : .. . . j. . -

Prosi.Kmk. — Connaissant les valeurs t» 0 , u, ...... u„, d’une fonction qui

. correspondent à def valeurs x„, x,’-t-.A» x 0 4- 2 h x t -b* h de la

variable , et admettant que , pour des accroissements égaux quelconques de x, les différences (n -fc- i )<'"■" de la fonction soient égale» à zéro ; trwirer la valeur de cette fonction qui correspond à une valeur donnée de x, cqmprise entre les limites x # et x 0 + n h.

’ Dans le calcul des différences, ob a trouvé la formule : fit „ - u i n t n — ^ i "(n— 1) ("— 2) .

Et si, dans cette formule , ou snjqjose que l'accroissement A de x soit

représenté, par - , on aura A == — — ’ et par suite :

.■ nA = x — a:,, d’où x =-x # + nh.

En série que la valeur x 0 ■+■ nh à laquelle se rapporte la valeur u„ de la fonction -sera x. L'équation

nA =r x — x # donne n ■= x -

ANALYSE

et la formule (1) devient

Telle est U formule qui servira au calcul <f interpolation.

Applicaliofi numérique . .

Supposons que l'on veuille obtenir le logarithme du nombre 3,1415926536 (ir) par le mojcn d'une lâbte de Wgaj-itibmés à dix décimales. ■ - "

On regardera les logarithmes contenus' dans celte table comme les valeurs donnée* de la fonction u . et l’bri formera le tableau suivant :

La différence quatrième est -extrêmement petit#, on peut donc eonuidérer la différence cinquième comme nulle.

Ici: '' Æ = 3;t4l5foi63S6. ^ = 3,14.

■ œ — 0,001 59âfifcttS. '

àu 0 = + 0,0013809037.

A 5 ii„ *= • 0,(KKMHKMW77 i* U(l = — 0,0000000003

tramât

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\ alrui s Je ».

t.OClKlTtl»t< ou vajpuri

hUirtHK» t».

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J. ii

-0 v «000»45lfi9

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