ÉQUATIONS DE PORXE QUELCONQUE A UNE INCONNUE

Soit une équation à une inconnue

Cette équation peut être considérée, d’une infinité de manières, comme

résultant de l'élimination de y cotre deux équations :

Chacune de ces équations représente uhe courbe.

Si l’on construit avec soin ces deux courbes, le* abscisses de leurs points d'interscciion, lesquelles abscisses sont données par l’équation f(x) = 0 , seront les racines réelles de l'équalion proposée f(x) = 0 . Soit, par exempte, l'équation ‘

'hc — 4 sin * — 1 = 0 (1)'

dont on veut détermiucr les raciues réelles.

Posons : y = sin x.

Alors les racines réelles de l’équation (1), s.oni les abscisses des points communs à lq courbe . , •

y =5 si n'a?.

Et tV.la droite :' . .

" . ir , — ,ly — 1 =^ 0 .

La courbe

y =.sin x

construite précédemment est AB.

. * ir-s. 4y — 1 = 0

sont :

I a droite MN ne rencontre la courbe AB qu’au seul point P dont l’jtbsrisse 0K est comprise entre 0 et ir. ;

usy

L’équ«rion proposée %r — 4 sm x — 1=0 n donc qu'une seule

racine réelle, laquelle a pour valeur numérique l’abscisse 0K dû point P, coiume aux deux courbes *■ « y

■ * •er* ' vtV .& t* Ê£&**

• ÿ = sin x. |9NH

Si l'on voulait résoudre L'équation

on poserai! x* — y; alors les' racines réelles seraient les abscisses des points communs aux deux courbes :

«y -+- px + q = 0; * •

lesquelles sont ; lu première uhe parabole et la seconde une hyperbole.

COLB Bb OCS tHHKLB.S.

Nous terminerons Ce rapide aperçu de géométriepra tique, en parlant ' dois courbe dite dti erreur*, dont l’emploi permet, approximativement, de résoudre une question quelconque.

Pour la faire connaître,, proposons- nous uli problème ; celui-ci, par exemple :

Dtvx point* A et B étant donnée (Une te plan d'un cercle, trouver * or la circonférence 'un point M tel

• que le joignant aux pointe À et |t et menant k rayon RM ; ce rayon 0M prolongé, déviée en deux parties égales, l’angle AMB.

Prenons sqr le cercle un point tixe V; si la distance MV, du point inconnu M au point fixe r V, était déterminée; il en serai! de même du point M, et le problème serait résolu.

Supposons le point cherché en m, puis joignons mA, mR, 0m

• et menons la bissectrice tnP de l'angle AmB. .

A la distance inexacte Vm correspond ici une .erreur angulaire, laquelle est l'angle O’mP.

ItiO

• Convenons de considérer comme négatives, les erreurs angulaires comptées à gauche du rayon 0 m ; et comme positives, les erreurs angulaires comptées à droite. ,

Ceci posé, soit Vx une droite fixe, considérée comme axe polaire ; au-dessus de cette droite et à partir de F, nous compterons les erreurs angulaires positives, et au-dessous nous compterons les erreurs angulaires négatives. < .

Alors si en F, avec Fat nous formons l'angle x¥p = angle O’mP et si

sur la direction de l'p nous prenonsFm,=:Vnt, nous aurons en m, * un point de la courbe d'erreur.

Supposons maintenant le point cherché en m'; refaisons sur la première figure les constructions établies ci-dessus, et nous trour ' ' vonSainsiqH’àladislanceincxacte . Vm' correspond une erreur angulaire négative P'rta'O"; les nouvelles coordonnées Voi' et l v m'0" déterminent ainsi un nouveau point de la courbe d'erreur.

On. en déterminera ainsi, autant que l'on voudra, Wj,

On devra en prendre quelques-uns, correspondante a des erreurs angulaires positives. • ...

Un assez grand nombre de points étant déterminés de la sorte, ou les joint par un trait continu. • • •

On obtient ainsi la courbe d’erreur. .

te point M, où celte courbe rencontre l’axe Fa-, donne la distance FM pour laquelle l’erreur angulaire est nulle; c'est-à-dire ht distance pour laquelle la bissectrice de l'angle Am B se couldnd avec le rayon üm On a donc ainsi l’inconnue de la cpiestion.