CALCUL INTÉGRAL

On appelle intigrale d’une fonction f(x), la fonction dont f(x) est la dérivée.

Si l'on désigne par F (x) la fonction dont la dérivée est la relation qui existe entre F (x) et f{x) s'indique ainsi ; . ■

F(x)= Ç f[x).dx. .

F.t s’énonce :

F (x) == somme de f[x).dx.

Théorèhk. — (ne fonction quelconque f(x) a toujoun une intigrale.

En effet, supposons que l'on construise la courbe représentée par l'équation g = f(x ) ; et soit AB cette courbe.

Si l’on prend une ordonnée fixe. MF et une ordonnée mobile M'F' ; on a, d'après le principe de Ta différentielle de l’aire d’une courbe :

d (surf. MPM’P*) = y.dx, ou bien : «

' • - d (surf. MPM'P') = f(x) dx. '

x II est ’ évident que Ja surface

MPM'P', qui varie avec x, est une . . fonction dex ; si donc, on désigne par F (x) l’expression de la surface MPM'P 1 , on aura :

d. F (x) = f{x).àx.

Done la fonction F (x) est l’intégrale de f{x], puisqu’elle a pour différentielle f[x)dx et pour dérivée /'(x).

ANALYSE. 21

Remarque I. — Une fonction a une infinité d’intégrales, car si F (x) a pour dérivée f(x), la fonction F (x) 4- G ( C étant une constante quelconque ) a aussi pour dérivée Z' (x).

Remarque II. — Les signes Ç et d, placés consécutivement, se dé-

truisent, ainsi • , . . t

L'intégrale étant l’inverse de la dérivée, il en résulte que toutes les formules relatives aux dérivées ou aux différentielles, donnent des théorèmes sur les intégrales. • •

Ainsi l'on a : -a; v, V étant dés fonctions d* x : ,

d(u-t- 1> -j-icJ.— du-bdv -t- die = *»'dx 4 - v'dx +w'dx -= (u'-t-c'-f-te'jdx. De là, oti tire : • ' ’’

J ' ( u‘ -t- r* -+- w’ ) dx =3 u -t- »-+- te = J' u'ifa + J' e'tfx-t- J ' ic'dx.

C’est-é-dire que : l'intégrale de liLsomme de plusieurs fonctions, est égale à la somme des intégrales de cet fondions.

On' a :

d'où l’on tire :

dA.u = A. du = Kuèix,

J \u' .dx — \,u = k. f u' .dx.

C’est-à-dire que : l’intégrale du ' produit d'une constante pur une fonction est égale au produit de la constante par l'intégrale de la fonction. Donc dans une intégrale, on pourra s’il y en a, faire sortir les facteurs constants hors du signe J' ‘ .

Il résulte de ce principe, que si l’on sait intégrer f(.r).d.r, on saura intégrer f ( ax + h ).dx. En effet, on a d I ax -t- b ) = adx ; donc

dx sx ~.d ( «x t- b }> et par suite :

f f{ax+b) dx == £ lf[ax+b)d{ax+b) = ^ J'flax+bfd (ax+b).

Donc si f /(*) dx = « (x). on aura:

/ f[ax-\-b)'dx qri q ' • •

Ht LINTtX.RAtK JJKKtMK.

Si l’on construit ta courbe AB, 1 , dont Féquation est y = f[x) et ' si l’on compte les aires à- partir . * » de l'ordonnée fixe MP ; on a en désignant par F [x) la fonction d’x qui représente l’aire comptée , à partir de MP : . v

F(*)= f f[*).dx.

Et si l'on prend deux valeurs de a-, ©P’ — o, OP"~b, on aura :

F (a) ou aire MPM'P' = j f (x).dx pour x = a.

F (ft)oq aire MPM"P" = j f {x).dx pour x =b. ,

La différence F(6)-r- F (a) représente l'aire MT V M"P" obtenue en faisant x = a et art= b dabs 'j' f[x).ds et en prenant la différence des résultats. 0<i convient de désigner.cette différence par la notation

que l'on énonce : tomme de a à b de f(x).dx.

On dit alors que / f[r).d.r est une intégrale définie, et l'orra :

f f(*).<tr=:F(é) — V(a).

a et b sont dites les limites de l'intégrale définie.

Remarque. — 1* Le renversement dés limites ‘a et b change le signe de l'intégrale définie; en effet, par définition :

f f (x).dx = F («) — F (6) =s-r [ F (6) — F («)]= — f /».dx.

2° Si e et d sont des nombres compris entre a et b, la décomposition de l’aire M'P'M"P" montre que l’on pourra écrire :

f f[x}.dx = J f[x).dx -f J f(x),dx ■+■ J f(x).dx.

Si l’on conçoit l’intervalle de a à 6 divisé en'parties infiniment petites et si x, , x t , x , , x„ sont les abscisses des points de division, on aura :

f f f[x).dx + J' /(x).dx-K..4- /. f(x).ix.

On voit ainsi que l’intégrale définie

représente

la somme des

éléments de surface infiniment petits, prise entre les limites « et h.

dont se cpmpose l’aire totale com-

Hem arques sur la représentation graphique d'une fonction.

S»i l’on construit la courbe

l“L’ordonnée MP, d’un point de la courbe correspondant à l’abscisse OP, représente .la valeur de fonction f (x) pour x = OP.

2" Si l’on mène la tangente MT en un point M de la courbe , on a :

n op)- '

S* L’aire de la courbe, comprise entre l’ordonnée MP et une autre ordonnée AB, représente l’intégrale définie :