RECHERCHE DES INTÉGRALES INDÉFINIES
Si F (x) a pour dérivée f[x), on a :
F (*) = j f[x).dx.
Et l’on dit que J f\x).dx est une intégrale indéfinie. Puisque la différentiation fait disparaître les constantes, il faudra les rétablir pour compléter les résultats de l'intégration.
On aura donc, en appliquant ce principe à quelques fonctions con-
nues :
f a X dx = .-2 — -PC.
J log a
J'e X dx=* + C.
J * — sin i,dx = cos x -+- C. .
J ' cos x.dx = sin * 4 - C.
r —T* = tg * -t-c.
. J cos J x
C (g x séc x dx = séc * 4 - C.
jffL — — arc sin x 4- C ou — * arc coe x 4- 1.
<lx = are, r.os x -4- C OU — arcsin«4-C.
dx
: arc Ig a; -H C ou — arc col x 4 - C.
/ dx
je V" x’ — 1
= arc séc x + C ou — arc coséc x + C.
Remorque sur T intégrale aft 1
.fx
X m dx :
Le principe
m + 1 dxr = mx™ l dx,
d'où l’on déduit l’intégrale
fr-dx=^ + t,
Kifi
* lien quelle que soit la constante m ; donc l'intégrale J m -f- 1
a lieu quelle que soit la constante ni.
Cette intégrale donne lieu aux intégrales suivantes ;
/* m /• jr* m ,
J \Zxdx=. J a- dr =■ — 4 - (T.
| xr "dx = TT -t-C — .
— l)ar- 1
Çdx f m .r fit «
iv = J* <to = — r . / +c - •
Remarque sur l'intégrale 'dæ
/ -=to«*+'C. • '
L'intégrale f y peut s’écrire j x~‘ itx\ en sorte que si l’op applique à cette intégrale, le principe
on a : pour m = — i ,
■ 1 dx ou
/• dx a?-‘4‘ ^ 1
Il semble donc que | ^ = » ; pour expliquer cette singularité ,
et
afin de retrouver
reprenons l'expression générale .
j T"dx =
jt—h
et remarquons- y que : la constante C étant indéterminée, on peut- donner à cette constante la forme
en sorte que l’on aura :
D’où
Pour m = — J, cette équation devient :
Afin d’avoir la vérilable valeur de i’exprcssion
laquelle devient g podr m — J, prenons les dérivées du ntiinérateor
et du dénominateur, en remarquant qu’ici m est la variable ; alors la dérivée de x™+'— 1 est x-+‘ log x, e; la dérivée de m +- 1 est 1, et pour m = — 1, le rapport de ces dérivées est log x. Donc
Luu
Et par suite :
tlette particularité indique le ré le que peut jouer la constante dans une intégrale.
