MÉTHODE D’INTÉGRATION PAR PARTIES

Soient u et e deux fonctions de la variable indépendante de x, on a :

<iu.e = v.du + u.dv.

D’où :

c .du = du.P~u.df.

Et en intégrant

Ou bien :

j'v.du — J" i.uv — j «.de.

j'v.du=^u.v — y «.de.

Tel est le principe de l'intégration par parties.

Ce principe môntre que : si l'on a £ intégrer e.du, la difficulté est ramenée à intégrer u.dc.

D’UN PRINCIPE FACILE ET COMMODE, AU MOYEN DUQUEL ON PEUT GÉNÉ- RALEMENT DÉTERMINER, PRESQUE SANS ARTIFICES DE CALCUL, LES IN- TÉGRALES SIMPLES.

Les spéculations trigonomélriques permettent de faire disparaître aisément un radical, un dénominateur, et sous 'ce rapport leur emploi nous sera d’une grande ressource dans le calcul d'une intégrale.

La représentation d'une variable : par un sinus ou un cosinus, si elle doit être moindre que 1 ; par une sécante, si elle doit être plus grande que 1 ; ou enfin par uue tangente, si la variable doit être quelconque ou n'êst indiquée par aucune limite, nous permettra d’éviter dans le calcul des intégrales simples certains artifices considérés comme d'autant plus élégants’, que, tout imprévus, ils conduisent au résultat.

En dehors de la représentation de la variable par une ligne trigonométrique, convenablement choisie , il est impossible jusqu’à présent d'indiquer une raSrche générale pour déterminer une intégrale quelconque ; néanmoins, comme on va le voir dans la suite, ht recherche d'une telle inconnue pour les cas simples et usuels sera toujours ramenée à des- spéculations trigonométriqiies.

Nous n’aurons généralement besoin, pour tous les cas , que des principes suivants : . , • ........

J'sinxdx= — côsx-i-C,

/ • dx

sinV —

= — cot .r -+- C.

fe^dmx = r + C, y =log*+C.

y c osxdx=sipx4-C, j~ 7 ~ =

Afin de ne pas revenir constamment sur les mêmes calculs, nous traiterons d'abord les intégrales suivantes :