Pour la définition de ces termes, voir Note II

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conque de leurs points (et l'on est bien forcé de l'admettre, car c'est la propriété essentielle de la direction), on est oblige de les concevoir comme réellement infinies; et en effet, si Ton considère la droite X'X comme donnée tout entière (et elle est donnée tout entière quand on donne deux de ses points), elle n'est pas variable ni mobile, mais stable et fixe, et dès lors on ne peut plus lui attribuer le caractère d'indéfini; et comme d'autre part la « finité » serait contradictoire à son essence, il faut convenir qu'elle est infinie. D'ailleurs, il faut bien que cette droite soit infinie, pour servir de carrière à la course indéfinie du point M, et pour fournir à la longueur variable AM un champ de variation qui ne lui fasse jamais défaut \ Soutenir que la droite donnée X'X e9t indéfinie, et non infinie, c'est la confondre avec le segment variable AM; c'est admettre qu'elle devient et se fait à mesure qu'on la prolonge, et qu'elle n'est jamais véritablement. Mais comment pourrait-on, non seulement la prolonger effectivement, mais la concevoir comme prolongée ou « prolongeable » k volonté, si elle n'existait pas antérieurement à toutes les constructions qu'on effectue sur elle, et si son « idée » n'offrait pas, par son infinité réelle, le modèle immuable de tous les prolongements possibles qu'il nous plaira d'opérer? La possibilité de prolonger indéfiniment une direction donnée montre que celte direction implique par elle-même une infinité absolue, à moins que l'on ne confonde l'idée de droite avec les images sensibles, toujours grossières et incomplètes, qu'on en dessine, et que Ton ne soutienne qu'une ligne droite n'existe que dans la mesure et dans l'étendue où l'on a pu la figurer matériellement, h l'encre ou à la craie.

8. On entrevoit peut-être quelles graves questions philosophiques soulève la considération de l'infini mathématique; mais comme elles ressortissent à la Logique et à la Théorie de la connaissance, nous en réservons la discussion pour la seconde Partie de cet Ouvrage. Présentement, il nous suffit d'exposer le fait de l'infini géométrique dans toute sa simplicité et, si Ton ose dire, dans son évidence mathématique. Pour mieux montrer que deux droites parallèles ont encore un point commun à l'infini, revenons à notre second cas, et demandons-nous ce que devient le point M quand la droite OZ devient paral-

1. Cf. Hï, iv, 6. — Cette thèse a été soutenue avec beaucoup de verve et d'humour, contre les critiques de l'Herbartien Ballauf, par M. Cantor dans sa Lettre à M. Lasswitz, 15 février 1884, ap. Zeitschrifl fur Philosophie und philosophische Kritik, t. 91, § 1. Voir aussi sa Lettre à Giulio Vivànti, mai 1886 (/&«/., § VII).

lèle à AX. Si l'on ne veut pas admettre l'existence de ce point à l'infini, et si Ton préfère soutenir que les deux droites, considérées dans leur totalité, n'ont aucun point commun, il faudra bien qu'à un instant donné elles se séparent et cessent de se croiser pour devenir parallèles. Nous raisonnons ici contre un « ûnitiste » conséquent avec lui-même; il est donc en même temps « discontinuisle », c'està-dire qu'il n'admet pas que les grandeurs AM, AP, BP, etc., varient d'une manière continue, ni qu'elles atteignent leurs limites respectives, oo , AB, 0. Nous le prierons donc de vouloir bien nous indiquer à quel moment, dans la rotation de la droite OZ décrivant l'angle droit AOB (de A en B), cette droite cessera de rencontrer AX, et par conséquent le point M cessera d'exister. Puisque notre adversaire admet que dans ce mouvement la droite OZ ne peut prendre qu'un nombre fini de positions correspondant à autant d'instants indivisibles, il répondra sans doute que la dernière des positions où OZ rencontre AX est celle qui a précédé immédiatement la position OB, et que le moment où le point M disparait est le dernier instant qui précède celui où OZ coïncide avec OB. Or, à ce moment, OZ n'était pas parallèle à AX, et la rencontrait en un point M situé à distance finie sur les deux droites (Fig. 1 7); cela veut dire que les segments AM, OM étaient tous deux finis, et représentés par des nombres réels, d'ailleurs aussi grands qu'on voudra le supposer.

Fig. 17.

Mais les deux demi-droites AX, OZ sont indéfinies (nous ne disons pas : infinies), c'est-à-dire qu'on peut prolonger chacune d'elles au delà du point M qui leur est commun : autrement, elles seraient réellement et absolument finies, et le point M serait leur dernier point; mais on sait qu'il n'y a pas plus de dernier point sur une droite que de dernier nombre dans l'ensemble des nombres réels croissants, ou même, en particulier, dans la suite naturelle des nom-

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bres entiers. H existe donc un prolongement MX de AM (prolongement que nous voulons bien considérer comme fini, provisoirement) et il existe aussi sur le prolongement MZ de OM (lors même qu'il serait fini f) un point N qui se trouve, par rapport à OX, du côté opposé au point 0 (puisque les deux droites se croisent en M). Or, si la droite OZ continue à tourner dans le même sens, elle ne pourra pas quitter la droite AM sans que le point N ait traversé le prolongement MX de celte droite, ce qui aura lieu, nécessairement, à un instant ultérieur. Ainsi les deux droites se croiseront encore à un moment postérieur à celui que nous considérons; donc celui-ci n'est pas le dernier, ce qui contredit l'hypothèse. En général, on peut mettre un finitiste au défi d'indiquer l'instant où les deux droites sécantes deviennent parallèles, c'est-à-dire la dernière position où OZ coupe AX; à moins qu'il ne conçoive l'une au moins d'entre elles comme finie (par exemple OZ, comme terminée au point M) auquel cas elles se séparent à une distance finie (voir OM'). Mais dès que l'on accorde l'indéfinité des deux droites (et c'est ce que le finitiste le plus obstiné ne peut refuser), on doit reconnaître que les deux droites ne se séparent à aucune distance finie, c'est-à-dire, pour parler le langage du finitiste, ne se séparent nulle part dans le plan. Quant à dire qu'elles se séparent à l'infini, cela lui est expressément défendu. Elles ne pourraient donc jamais devenir parallèles.

9. Pour nous, au contraire, qui admettons la réalité de l'infini géométrique, la contradiction précédente, qui ruine la thèse finitiste, n'existe pas, et nous n'avons aucune difficulté à reconnaître qu'il n'y a pas, pour la droite OZ, de dernière position avant OB, ni de dernier point sur l'une ou l'autre des droites AX, OZ. Bien mieux, ce fait même qu'il n'y a pas une dernière position de OZ, c'est-à-dire un dernier point P sur l'arc AB avant B, dénote la continuité de cet arc, et montre qu'il contient un nombre infini de points; et ce fait qu'il n'y a pas de dernier point sur AX prouve l'infinité absolue (et non plus seulement l'indéfinité) de cette demi-droite. Elle contient donc un nombre infini de segments contigus égaux à l'unité (à OA), c'est-à-dire qu'aucun nombre réel (fini) ne peut en représenter la longueur totale. Tant que OZ ne coïncide pas avec OB, la longueur AM, si grande qu'elle soit, est toujours finie, et l'on peut toujours trouver un nombre réel correspondant; mais quand OZ atteint OB,

i. Il suffit qu'il existe, c'est-à-dire ne soit pas nul.

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la longueur AM atteint sa limite; elle n'est plus infiniment grande, elle est, à ce moment final, infinie. Cet état de grandeur fixe et déterminé, qui n'est autre que la demi-droite AX tout entière, n'est plus représenté par aucun nombre réel; il n'en est pas moins « réel » géométriquement, et c'est pour le représenter qu'on est obligé de créer un nouveau nombre, dit nombre infini : oo . Ce nombre d'une nouvelle espèce se justifie, comme tous les autres, à titre de symbole d'un état de grandeur que les nombres déjà créés ne suffisent pas à représenter.

10. D'autre part, tant que OZ ne coïncide pas avec OB, les deux droites, la fixe AX, et la mobile OZ, se coupent en un point à distance finie M, c'est-à-dire que les segments AM, OM sont finis; tandis que les prolongements MX, MZ de ces droites au delà de leur point d'intersection sont infinis comme les demi-droites AX, OZ ellesmêmes. A mesure que OZ tourne et se rapproche de OB, le point M s'éloigne indéfiniment sur les deux droites, sans jamais arriver au bout de Tune ou de l'autre, puisque, par essence, elles n'ont pas de bout, et qu'à chaque instant il reste une infinité de points de l'une qui ont encore à traverser l'autre. Elles ne peuvent donc se séparer à aucun moment ni en aucun point du plan indéfini, si ce n'est peutêtre à l'instant même où OZ coïncide avec OB. Mais alors il faudrait admettre que le point M disparait brusquement, comme si les deux droites étaient finies. Cela n'a rien de contradictoire, assurément, mais c'est absurde ou irrationnel : on ne peut pas concevoir que ces deux droites ne se rencontrent plus du tout lorsque, dans une position infiniment voisine, elles se coupaient encore à distance finie. Il est donc naturel de considérer le point M comme rejeté à l'infini sur les deux droites, et de dire, non seulement qu'il s'éloigne indéfiniment sur chacune d'elles, mais, puisqu'il les parcourt tout entières et que chacune d'elles est infinie, qu'il est, pour chacune d'elles, le point à Vin fini. Ce point est la limite géométrique de l'ensemble des points à distance finie de la droite; mais il faut bien se garder de le concevoir comme une extrémité ou une borne, comme un dernier point, en un mot : car il n'existe précisément qu'en vertu de ce fait qu'une droite indéfinie n'a pas de dernier point. On voit que c'est le principe de continuité qui force d'admettre qu'il existe sur chaque droite indéfinie un point à Vin fini, sans lequel elle serait en quelque sorte incomplète et tronquée. Si paradoxale que cette assertion puisse paraître, c'est pour achever la droite et la rendre absolument con-