CH. I. — L INFINI GÉOMÉTRIQUE

tinue qu'on est amené à lui ajouter ce point à l'infini, bien que l'indéfini semble suffire à toutes les exigences de la continuité géométrique, et que l'infinité absolue, au contraire, dépassant les bornes de l'intuition, semble échapper à toute relation définie. Nous verrons plus loin qu'il n'en est rien, et qu'il est rigoureusement exact de dire qu'une droite ne serait pas entière, ni continue, s'il lui manquait un seul point, fût-ce le point à l'infini.

Il est à peine besoin d'ajouter que le nombre infini représente le point à l'infini sur la droite X'X, dans la correspondance des nombres aux points, de même qu'il représente la longueur totale de la demi-droite AX, dans la correspondance des nombres aux grandeurs [III, iv, 2]. Le nombre ao est donc doublement justifié comme symbole, soit d'un élément géométrique (point), soit d'un état de grandeur (longueur), l'un et l'autre parfaitement fixes et déterminés.

11. On nous demandera sans doute pourquoi nous parlons au singulier du pointa l'infini sur la droite X'X, alors qu'il semble y en avoir deux, à savoir un dans chaque sens. En effet, on pourrait répéter sur AX' toutes les constructions effectuées sur AX, faire tourner la droite mobile OZ en sens contraire, de OA vers OC (Fig. 16); le point M s'éloignerait alors indéfiniment sur AX', et arriverait à l'infini quand OZ coïnciderait avec OC. 11 semble que ce soit là un nouveau point à l'infini, bien distinct de celui que nous avons trouvé précédemment, puisqu'ils sont pour ainsi dire diamétralement opposés, comme les deux extrémités d'un segment fini (bien qu'ils ne soient pas, à proprement parler, des extrémités, sans quoi la droite X'X serait finie).

Si naturelle que paraisse celte présomption, elle est erronée; les deux points en question, qui semblent séparés par l'espace entier et situés à une distance infinie l'un de l'autre, n'en font qu'un, et coïncident rigoureusement. En effet, si les deux droites X'X et BC avaient deux points communs à l'infini (un dans chaque sens), cela serait contradictoire avec l'axiome caractéristique de la ligne droite, qui lui sert de définition : « Une ligne droite est entièrement déterminée quand on donne deux de ses points » ; d'où ce corollaire immédiat : « Deux lignes droites qui ont deux points communs coïncident entièrement. » On est donc obligé d'admettre qu'une droite n'a qu'un seul point situé à l'infini; sans quoi l'on serait conduit à cette conséquence absurde, que toutes les droites parallèles coïncident entre elles.

12. On peut encore justifier cette conception d'une autre manière, qui revient d'ailleurs au même, car elle repose toujours sur le même principe. De l'axiome énoncé ci-dessus on tire cette autre conséquence : « Deux droites distinctes n'ont qu'un point commun. » Considérons donc toujours la droite X'X et la demi-droite OZ complétée par la demi-droite OZ' qui est son prolongement {Fig. 18). Supposons la droite X'X fixe comme précédemment, et la droite Z'Z mobile autour du point 0. Cette droite mobile sera toujours distincte, dans toutes ses positions, de la droite Vixe XX', car elle passe constamment par un point fixe 0 extérieur à celle-ci. Elle n'aura donc jamais qu'un seul point commun avec X'X. Cela posé, la demi-droite OZ parcourrait tout le plan en faisant un tour complet autour du point 0; mais pour que la droite Z'Z parcoure tout le plan, il suffît qu'elle fasse un demi-tour et revienne coïncider avec sa position initiale, mais en sens inverse (par exemple ZZ' avec Z'Z). Dans cette rotation, elle coupe constamment la droite X'X en un point M différent pour chaque position différente de la droite mobile, excepté en une position unique, qui est la parallèle à X'X passant par le point V\xe 0, c'est-à-dire BC. (Nous considérons pour le moment la droite X'X comme simplement indéfinie.) Inversement, chaque point M de la droite X'X peut être considéré comme son intersection avec une certaine position de la droite mobile, et deux points différents sur X'X correspondent à deux positions différentes de la droite Z'Z. En résumé, il existe une correspondance univoque et réciproque entre tous les points de la droite indéfinie X'X et toutes les positions de la droite mobile Z'Z, sauf une. Comme ces positions successives sont infiniment voisines, et se relient avec continuité, il y a là un hiatus choquant dans la suite, également continue, des points de la droite X'X : car, en général, à deux positions infiniment voisines de la droite mobile correspondent deux points infiniment voisins de la droite i\\e. L'ensemble des points de celle-ci offre donc une solution de continuité, qui contraste vivement avec la parfaite continuité de la rotation de la droite Z'Z, dont toutes les positions autour du point 0 se succèdent uniformément et sont indiscernables. Cette solution de continuité s'évanouit, au contraire, si l'on admet le point à l'infini sur la droite X'X, et si l'on considère également la droite Z'Z comme infinie. Ainsi le point à l'infini est nécessaire, comme nous l'avons annoncé, pour compléter la droite indéfinie et la rendre parfaitement continue; et l'on peut dire que le point à l'infini comble

- l'infini géométrique

une lacune de lu droite (supposée réduite à l'ensemble de ses points située à distance finie), comme les points irrationnels, par exemple, comblent les coupures d'une droite réduite à l'ensemble de ses points rationnels [III, m, 4].

Fig. lit.

13. Ainsi apparaît l'analogie réelle et profonde du nombre infini et du nombre irrationnel, l'un et l'autre étant le symbole d'une lacune dans l'ensemble des nombres rationnels; lacune qui ne devient sensible et gênante que lorsqu'on veut appliquer cet ensemble a la représentation des grandeurs continues, et qui oblige alors à créer un nouveau nombre pour la combler. Nous reviendrons plus tard sur cette analogie pour en développer les conséquences. Il nous suffit d'avoir montré comment le point à l'infini d'une droite Terme en quelque sorte le cycle de ses points successifs, et rattache entre eux, par continuité, les points inllnimenl éloignés dans les deux sens. Quand la droite Z'Z tourne de OA à OB, le point M va du point A à l'infini vers AX; quand la droite, continuant son mouvement, dépasse OB, c'est-à-dire OC, le point M part de l'infini sur AX' et revient en A; de sorte qu'au moment où la droite Z'Z est parallèle à X'X, le point M semble être à la fois dans les deux sens

à l'infini sur les deux droites; et comme il est unique, il faut bien que chacune des deux droites n'ait qu'un point à l'infini. Grâce à l'admission du point à l'infini, la correspondance uniforme établie entre les points de la droite X'X et les positions de la droite Z'Z ne souffre plus aucune exception. De plus, on peut formuler la proposition suivante, qui est désormais vraie, elle aussi, sans exception : « Deux droites d'un même plan ont toujours un point commun. » En effet, ou bien elles se coupent, et alors elles ont un point commun (à distance finie); ou bien elles sont parallèles, et alors elles ont un point commun à l'infini. Ce seul exemple montre la simplicité, la symétrie et la généralité que confère aux théorèmes de Géométrie l'introduction des points à l'infini, et plus généralement des éléments à l'infini et des figures infinies.

14. 11 montre aussi l'analogie qui existe entre les points à l'infini et les points imaginaires dans la Géométrie projective. En effet, la proposition précédente n'est qu'un cas particulier de celle-ci : « Dans le plan, une courbe d'ordre n rencontre une droite quelconque en n points (réels ou imaginaires). » Ce n'est pas seulement la ligne droite, c'est toutes les courbes, d'ordre quelconque, qui ont des points (réels ou imaginaires) à l'infini. Nous verrons plus loin [ni, 12] de quelle importance sont ces points pour la détermination des courbes et l'étude de leurs propriétés, importance qui justifie amplement leur introduction, et leur confère une sorte d'existence rationnelle, fondée sur l'ordre et l'harmonie des relations où ces points figurent; la seule, d'ailleurs, dont ces êtres géométriques soient susceptibles, puisqu'ils ne peuvent trouver place dans la représentation sensible et échappent nécessairement à toute intuition.

C'est donc, encore une fois, le principe de continuité qui oblige à admettre en Géométrie les points à l'infini comme les points irrationnels et les points imaginaires, parce qu'il est inconcevable qu'un élément de l'espace (un point par exemple) disparaisse ou apparaisse brusquement, par un changement ou déplacement infiniment petit de la figure considérée. Or c'est ce qui arriverait au point M (Fig. 1 8) quand la droite mobile Z'Z passe par la position BC, si l'on n'admettait que la droite fixe X'X possède un point à l'infini, par lequel passe, au même instant, le point mobile M. L'absence de ce point fixe constituerait dans la suite continue des positions du point M une lacune aussi réelle et aussi choquante que l'absence de tel autre point de la droite X'X, du point A par exemple. Et pour la