CU. I. — L INFINI GEOMETRIQUE

même raison, la valeur infinie ne peut pas plus manquer au cycle continu des valeurs successives du segment AM que la valeur zéro.

15. On pourrait argumenter, en effet, contre l'annulation de la longueur AM aussi bien que contre son passage à l'infini. Tant que le point M est distinct de A, pourrait-on dire, le segment AM existe, et quand le point M se rapproche indéfiniment du point A, le segment AM devient infiniment petit; mais, si voisin que soit le point M du point A, le segment AM n'est jamais nui Lors donc que le point M, par la rotation de la droite OZ, vient à franchir le point A, le segment AM devient tour à tour infiniment petit négatif (décroissant en valeur absolue), et infiniment petit positif (croissant); mais il ne s'annule jamais. 11 est inconcevable qu'une grandeur réelle s'annule véritablement et à la rigueur; « cela paraît être un acte violent de l'imagination d'annuler une quantité variable, pour la ressusciter aussitôt après, comme on rallume un flambeau éteint ' ».

L'auteur de ce paradoxe subtil semble ici faire appel à une raison de continuité; mais il est, en réalité, dupe de son « imagination », et c'est au contraire le principe de continuité qui va servir à le réfuter *. Pour cela il suffira de lui demander si le point M coïncide avec le point A quand il passe d'un côté à l'autre de celui-ci. Si oui, le segment AM sera à ce moment nul, par définition, son extrémité coïncidant avec son origine; si non, la continuité est violée, et le point M saute pour ainsi dire par-dessus le point A. Dira-t-on que le point A n'existe pas? Mais alors c'est la droite XX elle-même qui devient discontinue; et d'ailleurs, pourquoi le point A n'existerait-il pas? C'est un point ordinaire de la droite X'X, un point « comme un autre », pris à volonté sur cette droite uniforme, et indiscernable de tous les autres. Il existe donc au même titre qu'eux, et le point M peut et doit coïncider avec lui comme avec tous les autres. Dira-t-on enfin que, lorsque cette coïncidence a lieu, le segment AM n'existe plus, attendu qu'on n'a plus affaire à deux points, mais à un seul, et qu'un point n'est pas un segment rectiligne? Cette thèse serait encore acceptable au point de vue statique, si les deux points confondus étaient tous deux immobiles. Mais, de ces deux points, l'un, A, est fixe, l'autre, M, est mobile et ne fait que passer par A. Un instant aupa-

1. Paul du Bois-Reymond, Théoiie générale des fonctions, chap. i [loc. cit., III, iv, 5, note).

2. Au point de vue analytique, en effet, une fonction continue ne peut changer de signe qu'en s'annulant (voir Note II, 7 : théot'ème de Cauchy).

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ravant, le segment AM existait, infiniment petit négatif; un instant après, il existera de nouveau, infiniment petit positif. La continuité exige qu'il existe encore au moment où, ses deux extrémités coincicidant, il se trouve réduit à un point, et par conséquent ce point unique, où le point fixe A et le point mobile M se trouvent momentanément confondus, peut et doit être regardé comme un des états de grandeur par lesquels passe le segment AM : cet état est représenté par le nombre zéro, et c'est pourquoi Ton dit que le segment est nul. Mais il n'a pas cessé d'exister, et zéro n'est point synonyme de néant; c'est, au contraire, dans la thèse que nous combattons que le segment AM cesserait d'exister, à la façon d'un flambeau qu'on éteint pour le rallumer aussitôt !. S'il disparaissait un instant pour reparaître à l'instant suivant, c'est alors qu'il y aurait discontinuité dans la suite de ses états de grandeur, puisqu'au moment où M passe en A on se trouverait en présence, non plus d'un segment nul, mais d'un point unique, incapable de constituer un segment à lui tout seul; c'est alors que la grandeur variable s'anéantirait vraiment pour ressusciter un instant après. Concluons donc que ce qui fait la réalité du segment AM, même quand il est nul, c'est la continuité qui le rattache aux états de grandeur infiniment petits qui le précèdent et le suivent; et que, pour la même raison, il continue d'exister quand il devient infini, parce qu'il est nécessaire pour relier les uns aux autres les états de grandeur infiniment grands (positifs ou négatifs) de la variable continue. Ainsi l'infini géométrique est logiquement lié à la continuité essentielle de la grandeur et s'impose, soit comme élément de l'espace, soit comme état de grandeur, au même titre que tout autre état de grandeur ou que tout autre élément; en particulier, le point-origine (c'est-à-dire un point quelconque de la droite ou du plan) n'existe pas plus que le point à l'infini, et la grandeur nulle n'a pas plus de réalité que la grandeur infinie; c'est-à-dire que l'une et l'autre sont également légitimes et indispensables à la Géométrie [cf. iv, 6 sqq.].

1. Aussi cette thèse serait-elle, sinon valable, du moins plausible dans la bouche de YEtnpiriste de M. dit Bois-Rey.mono, c'est-à-dire d'un finitiste logique et convaincu; mais on ne peut l'attribuer à Y Idéaliste sans inconséquence, et c'est lui prêter gratuitement une contradiction.

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Appendice. — Nous nous sommes placé jusqu'ici dans le plan euclidien, et nous avons constamment raisonné dans l'hypothèse où le postulatum d'Euclide serait vrai, c'est-à-dire où il n'y aurait qu'une parallèle à X'X qui passe par le point 0, à savoir BC (Fig. 18). On peut se demander si les considérations précédentes subsisteraient dans l'hypothèse contraire, et seraient valables pour l'espace de Lobatchevski. Dans un plan non-euclidien, en effet, la sécante OZ, quand le point M s'éloigne indéfiniment sur AX, tend vers une position-limite OB, dite parallèle à X'X ; quand le point M s'éloigne indéûniment sur AX' (dans le sens opposé), la sécante OZ tend vers une position -limite OC qui est aussi parallèle à X'X : mais, tandis que dans le plan euclidien tes deux demi-droites OB, OG sont le prolongement Tune de l'autre, de sorte que les deux parallèles issues du point 0 coïncident et n'en font qu'une seule BC, dans le plan non-euclidien elles restent distinctes, et forment un certain angle BOC, qui dépend de la distance OA, et dans lequel la droite X'X est contenue tout entière. L'angle AOB - ----- AOC, moindre qu'un droit, est

dit Y angle de parallélisme relatif au point fixe 0 et à la droite fixe X'X.

On peut aisément se rendre compte, par intuition, de ce qui se passe dans le plan non-euclidien quand la demi-droite OZ fait un tour complet (ou quand la droite entière Z'Z fait un demi-tour) et décrit tout le plan. En effet, Beltrami ' a montré comment on peut figurer le. plan de Lobatchevski (ou surface pseudosphérique, imaginaire) par un cercle euclidien, et, de même, l'espace de Lobatchevski par une sphère euclidienne. Soit donc {Fig. 1 9) le cercle 0, de rayon fini, qui représente, dans le plan euclidien, le plan noneuclidien infini dans sa totalité : les points de sa circonférence correspondent aux points à l'infini de ce plan; quant au centre 0, il correspond à un point quelconque situé dans le fini du plan et pris pour origine. Les droites non-euclidiennes (lignes géodésiques de la surface pseudosphérique) sont représentées par des droites euclidiennes, c'est-à-dire plus exactement par des cordes du cercle 0; de sorte qu'une droite non-euclidienne infinie est tout entière représentée par une droite euclidienne finie. Soit X'X une corde quelconque du cercle 0 : elle représente donc une droite infinie du plan; nous supposons qu'elle ne passe pas par l'origine. Soit OA la per-

i. Essai d'interprétation de la Géométrie non-euclidienne; Théorie fondamentale des espaces de courbure constante (1868). Mémoires traduits par J. Houel, ap. Annales de V Ecole Normale, t. VI (1869).

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pendiculaire abaissée du point 0 sur cette droite; concevons qu'un rayon mobile OZ du cercle fasse un tour complet en partant de la position OA, et décrive le cercle entier; il représentera une demidroite infinie qui engendrera tout le plan (de Lobatchevski). Tant que l'extrémité Z du rayon sera entre les points X' et X de la circonférence (sur l'arc X'X), OZ coupera la corde X'X entre les extrémités X' et X (sur le segment fini X'X) ; les droites correspondantes se rencontreront par suite en un point M situé à distance finie dans le plan non-euclidien. Lorsque le point Z vient coïncider avec le point X, les deux droites OZ, X'X se coupant sur la circonférence, les droites correspondantes auront un point commun à l'infini dans le plan : leur point d'intersection M s'étant éloigné à l'infini, elles seront parallèles. Ainsi le rayon OX représente une des deux parallèles menées à X'X par le point 0. Nous pouvons ajouter tout de suite, par raison de symétrie, que le rayon OX' représente l'autre parallèle, puisque les droites OX', X'X ont un point commun X' sur la circonférence, qui correspond à l'infini du plan. Complétons les deux demi-droites issues du point 0 et parallèles à X'X; les deux droites infinies ainsi obtenues sont représentées par les deux diamètres du cercle XY, X'Y', qui font entre eux le même angle (de parallélisme) que les deux parallèles. Concevons également le rayon mobile comme prolongé à l'infini dans les deux sens; le rayon correspondant OZ se complétera et deviendra le diamètre Z'Z. Lorsque, ce diamètre continuant à tourner, le point Z se trouvera sur l'un des arcs XY', YX', les droites Z'Z, X'X se rencontreront en dehors du cercle, et ne se couperont que par leurs prolongements. Alors, comme les droites qu'elles représentent ne correspondent qu'aux segments finis Z'Z, X'X, elles n'auront aucun point (réel) commun dans tout le plan, et ne se rencontreront même pas à Vin fini. Il y a donc, dans les angles XOY', YOX', une infinité de droites issues du point 0 qui ne rencontrent pas du tout la droite infinie X'X; elles forment un faisceau compris entre les deux droites XY, X'Y', dites parallèles à X'X, et qui rencontrent celle-ci à l'infini.

Ainsi se justifie la définition exacte et rigoureuse des parallèles que nous avons énoncée plus haut : en efîet, il y a lieu, dans l'espace non-euclidien, de distinguer les droites qui se rencontrent à fin fini de celles qui ne se rencontrent nulle part dans le plan; et il convient de réserver aux premières le nom de droites parallèles. Par suite, il est naturel et légitime de dire, même dans l'espace euclidien, qui

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Cil. I.

LLNFINI GEOMETRIQUE

est un cas particulier de l'espace non-euclidien, et où la distinction précédente disparaît, que les parallèles ont un point commun à l'infini. Ainsi l'étude du parallélisme dans l'espace de Lobatchevski apporte un argument de plus à l'appui de notre thèse, et ne fait que confirmer les conclusions du présent Chapitre.

Fig. 19.

Remarque. — Le point d'intersection des droites Z'Z et X'X, quand elles se rencontrent en dehors du cercle qui représente le plan noneuclidien tout entier, correspond à un point imaginaire de ce plan. On peut donc dire de deux droites qui ne se rencontrent en aucun point (réel) du plan non-euclidien, qu'elles se rencontrent au delà de l'infini, et que leur point d'intersection est devenu imaginaire en passant par l'infini. Ainsi l'infini apparaît ici comme intermédiaire entre les éléments réels et imaginaires du plan, de même que, dans d'autres cas, le zéro est intermédiaire entre les valeurs réelles et imaginaires d'une variable. Cela s'explique, analytiquement, par ce fait qu'une quantité soumise à un radical (d'ordre pair) peut passer du positif au négatif, soit par zéro, soit parl'tn/mi. En effet, considérons

une expression algébrique de la forme y^; si, Q restant fini et différent de z&ro, P change de signe en s'annulant (par exemple en variant d'une manière continue depuis une certaine valeur positive

*236 liv. IV. — l'infim mathématique

jusqu'à une certaine valeur négative, auquel cas il passe nécessairement par zéro), le radical passera du réel à l'imaginaire en s'annulant. Si, au contraire, P étant fini non nul, Q change de signe en s'annulant,

le radical passera du réel à l'imaginaire en devenant infini, la frac-

tion -^ passant de -h oo à — oo (de — - à — ~7ï ) •

Quant à la proposition énoncée précédemment pour le plan euclidien : « deux droites d'un même plaaont toujours un point commun, et un seul [13] », elle subsiste dans l'espace de Lobatchevski, et est ■encore vraie pour un plan non-euclidien *; seulement, tandis que le point d'intersection de deux droites dans le plan euclidien est toujours réel (soit dans le Oni, soit à l'infini), il faut sous-entendre, quand il s'agit du plan non-euclidien, que le point commun à deux droites peut être réel ou imaginaire (soit dans le fini, soit à l'infini, soit au delà de l'infini). Cet exemple montre une fois de plus l'analogie des éléments imaginaires et des éléments à l'infini : de même que les points d'intersection d'une droite et d'une conique deviennent imaginaires en se confondant (c'est-à-dire quand leur distance s'annule), de même le point d'intersection de deux droites non-euclidiennes devient imaginaire « en passant par l'infini ».

1. Pour le sens des signes + et — attachés à 0 et à œ, voir Chap. u, 5.

2. U ne faut pas s'étonner qu'une droite infinie XX ait deux points à l'infini : car dans le plan de Lobatchevski le lieu des points à l'infini n'est pas une droite, mais un horivycle (cercle de rayon infini) qui peut avoir deux points -communs avec une droite.