Cf. Livre 111, Chap. iv

238 uv. iv. — l'infini mathématique

symbole d'impossibilité, on peut en inférer que nous n'avons inventé le point à l'infini que pour donner un support géométrique à cette racine « imaginaire », et que la généralité de la proposition (p. 230) : « deux droites d'un même plan ont toujours un point commun », n'est que la traduction en langage géométrique de la convention algébrique qui veut que toute équation du premier degré ait une racine (p. 91) . Ce serait donc dans l'intérêt de la généralité de l'Algèbre qu'on imaginerait d'abord cette valeur absurde et fictive, qui est le nombre infini; et ce serait, ensuite, pour assurer aux racines de l'Algèbre une représentation complète que l'on ferait correspondre à ce pseudo-nombre un pseudo-point, dit point à l'infini, et une grandeur fictive, dite grandeur infinie; de sorte que l'infini géométrique, fiction à la seconde puissance, ne serait que l'ombre d'un fantôme numérique [cf. 111, m, 8].

Cette conception, que professent plus ou moins explicitement la plupart des mathématiciens, est parfaitement légitime, du moins au point de vue logique; néanmoins, nous pensons qu'elle est irrationnelle, car elle repose sur un préjugé né de l'habitude et de la routine du calcul, qu'on pourrait appeler la superstition de Vx ou le fétichisme algébrique [III, i, 4]. Ce préjugé consiste à croire que les équations de la Géométrie analytique, au lieu d'être la traduction des figures géométriques, existent pour ainsi dire par elles-mêmes et font toute la réalité de celles-ci; que l'on peut reconstruire l'espace avec des nombres, et que la Géométrie tout entière n'est, au rebours, qu'une simple « illustration » de l'Algèbre *. Toutefois, il ne suffit pas de dénoncer ce préjugé comme la source de la théorie que nous voulons combattre; et pour la réfuter (dans le sens et dans la mesure où elle est réfutable), il convient d'abord de l'exposer dans toute sa force logique et de l'éclairer par des exemples.

2. Considérons la droite indéfinie X'X, sur laquelle on suppose appliqué l'ensemble des nombres réels qualifiés [v. 111, n], de sorte que chaque point M de la droite est désigné par un nombre unique et déterminé, qui correspond en même temps à son abscisse, c'est-àdire qui représente le segment OM compris entre le point considéré et l'origine, avec son sens (Fig. 20). Soit proposé de trouver

i. Voir Riquiek, de Vidée de Nombre considérée comme fondement des Sciences mathématiques, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, juillet 1893. M. J. Dbsrokuf a écrit contre ce préjugé si répandu parmi les analystes une page pleine de bon sens {Revue philosophique, t. XXXVJ, p. 452).

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CH. n. — JUSTIFICATION DE L'iNFINI GÉOMÉTRIQUE 239

sur la droite le point dont les distances à deux points donnés A, B

de cette droite sont dans un rapport donné —, m et n étant deux

nombres réels. Cela veut dire que, M étant le point cherché, on a la proportion

AM m

BM "" n '

AM et BM étant les nombres qualifiés qui correspondent aux segments AM, BM pris avec leur sens. Or, soient a l'abscisse du point A, b l'abscisse du point B, x l'abscisse (inconnue) du point M, qu'il s'agit de trouver. On a, en vertu de la formule de Mobius [III, îv, 18] :

AM — x — a, BM — x — b.

Fig. 20.

L'équation du problème est donc la suivante : x — a m

d'où la solution :

x — an =

bm — an ;