LOI

bm

— an

mx — 6m,

Or le quotient de deux nombres réels est un nombre réel ; posons donc, pour simplifier :

X sera un nombre réel, et la formule de x deviendra :

On voit que, a et b étant des nombres donnés fixes, la valeur numérique de x dépend uniquement de la valeur attribuée à X; d'ailleurs, à chaque valeur de X correspondra, par la formule précédente, une valeur unique et déterminée de x, et par suite un point M unique et déterminé de la droite X'X !. C'est ce qu'on exprime en

i. Ce petit calcul est emprunté à la Géométrie analytique de Bkiot et BorgrBT, n* 57 (cf. n° 441); mais nous l'avons simplifié en ne considérant qu'un axe, c'est-à-dire en prenant pour la droite en question Taxe des x lui-môme. Cf. Clebscb, Leçons de géométrie, t. I, chap. i, § III.

disant que la position du point M est définie d'une manière uniforme parla valeur du paramètre X, qui représente le rapport des distances du point M aux deux points fixes A et B (prises avec leurs signes).

3. Cela posé, cherchons comment varie le paramètre X quand le point M se déplace et parcourt la droite X'X tout entière, et inversement, comment varie l'abscisse x quand le paramètre X prend successivement toutes les valeurs réelles. Tout d'abord, la valeur de X est négative quand le point M se trouve entre A et B, et positive quand ce point se trouve en dehors du segment AB. En effet, dans le premier cas les deux segments AM, BM sont en sens contraire, donc les nombres m et n sont de signes différents; dans le second cas, les deux segments sont dans le même sens, donc les nombres m et n ont même signe.

Considérons d'abord le paramètre X comme variable indépendante, et faisons-lui parcourir l'ensemble des nombres réels (de — oo à -h oo, comme on dit, ce qui signifie simplement : depuis les valeurs négatives très grandes en valeur absolue jusqu'aux valeurs positives très grandes); ou plutôt, faisons-le croître indéfiniment en valeur absolue à partir de zéro, tant par les valeurs négatives que par les valeurs positives. Le nombre x, qui représente l'abscisse du point M, sera défini en fonction de X par la formule :

Pour X — 0, on trouve : x — a. Le point M coïncide alors avec le point A. Si X devient négatif, le point M s'avance sur le segment AB, et plus X décroit (c'est-à-dire croît en valeur absolue) plus x augmente, plus par suite le point M s'éloigne de A pour se rapprocher de B. Pour X — — 1, le point M se trouve au milieu de AB, car cette valeur de X indique que ses distances aux points fixes A et B sont égales et de signes contraires (ou symétriques). D'ailleurs, la formule générale donne dans ce cas particulier :

a-hb

ce qui montre que l'abscisse x est la moyenne arithmétique des abscisses a et b. Si X •< — 1, le point M dépasse le milieu du segment AB; et quand X croit indéfiniment en valeur absolue, le point M s'approche indéfiniment du point B; car alors le segment AM croît de plus en plus, et le segment BM décroît de plus en plus. Donc,

Cil. II. — JUSTIFICATION DE L'iNFINI GÉOMÉTRIQUE 241

pour X infiniment grand (en valeur absolue), le point M sera infiniment voisin du point B, et situé à sa gauche (c'est-à-dire entre A et B). C'est tout ce qu'on peut affirmer si le nombre X prend des valeurs négatives de plus en plus grandes, ou tend, comme on dit, vers — oo ; mais, à moins que X ne devienne infini, jamais le point M ne coïncidera avec le point B.

D'autre part, faisons croître X à partir de zéro par les valeurs réelles positives; le point M s'éloignera du point A dans le sens opposé à B; les deux segments' AM, BM seront de même sens, mais le segment AM toujours plus petit que le segment BM, celui-ci étant égal à la somme du segment variable AM et du segment fixe AB. Leur rapport ne pourra donc jamais devenir égal à 1, et restera toujours plus petit, tant que le point M sera sur la demi-droite indéfinie AX'. Ainsi, quand X croit de 0 à + 1 (exclusivement) le point M parcourt la demi-droite AX' tout entière; si peu que X diffère (en moins) de + 1, il y aura un point M correspondant à distance finie sur AX', car le nombre x sera très grand en valeur absolue, mais néanmoins fini. Quand X sera infiniment peu différent de H- 1, le nombre x sera infiniment grand, et par suite le point M infiniment éloigné sur la demi-droite AX'. C'est tout ce qu'on peut affirmer si Ton considère la droite X'X comme indéfinie, mais non infinie. Pour X = -+- 1, la formule prend la forme :

Le numérateur de cette fraction n'est pas nul, puisqu'il est égal au nombre ÂB, et que les deux points A et B sont distincts; le dénominateur, au contraire, est nul. On sait qu'une telle fraction n'est égale à aucun nombre réel fini. On admet qu'elle représente encore un certain état de grandeur, ou plutôt un certain point de la droite X'X, qu'on nomme point à Pinfini. En somme, on invente ce point fictif1 pour faire correspondre un élément géométrique à la valeur -+- 1 du paramètre X.

Continuons à faire croître X au delà de la valeur -f- 1. Dès que X > H- 1, le segment AM doit être plus grand que le segment BM, et de plus le point M doit se trouver en dehors des points A et B : il ne peut donc être situé que sur BX, c'est-à-dire au delà de B par