Uneigentlich, disent les géomètres allemands

242 nv. iv. — l'infini mathématique

rapport à A. Si peu que X diffère (en plus) de -h 1, il y aura un point H correspondant à distance finie sur BX, car le nombre x sera très grand, mais pourtant fini. Donc, quand X est infiniment peu différent de -f- 1 (mais supérieur à -f- 1), le point M est infiniment éloigné sur la demi-droite BX. A mesure que a augmente, x diminue et le point M se rapproche de B. Quand X croit indéfiniment, le point M tend vers le point B, car si AM décroit, il reste fini (> AB) tandis que BM décroît indéfiniment. Donc, pour X infiniment grand (positif), le point M sera infiniment Voisin du point B, et situé à sa droite, c'est-à-dire que si X devient plus grand que tout nombre donné, le segment BM deviendra plus petit que toute longueur donnée. C'est tout ce qu'on peut affirmer si X prend toutes les valeurs réelles et positives croissantes, ou, comme on dit, tend vers -H oo ; mais, à moins que X ne devienne infini, jamais le point M ne viendra coïncider avec le point B.

En résumé, quand le nombre X parcourt l'ensemble des valeurs réelles finies, et varie de — oo à -f- oo , le point M décrit toute la droite X'X (sauf le point B) en passant par l'infini. Ainsi le point à Tinfini est nécessaire pour fermer le cycle des positions du point M, qui part d'un point infiniment voisin de B, à gauche, pour arriver en un point infiniment voisin de B, à droite. Il faut remarquer que, lorsque M est à Tinfini, le paramètre X a. la valeur unique -h 1, et c'est pour cela qu'on parle du point à l'infini sur la droite X' X, ce qui veut dire que cette droite se comporte, analyliquement, comme si elle avait un seul point à Tinfini l. Il semble donc bien, d'après cet exposé, que le pointa Tinfini d'une droite n'ait qu'une existence analytique, et n'ait été inventé que pour conserver la continuité des valeurs finies du paramètre X, c'est-à-dire pour correspondre à la valeur numériqne-h !.. Quand X tend vers -h 1 par des valeurs supérieures, le point M s'en va à Tinfini sur BX; quand X tend vers -+- i par des valeurs inférieures, le point M s'en va à l'infini sur AX'. Mais rien n'empêche X de prendre la valeur exacte -h 1, et même ce paramètre est obligé de passer par cette valeur dans sa variation continue; c'est pour donner à cette valeur une représentation géométrique (toute nominale et fictive d'ailleurs), c'est pour qu'elle ne fasse pas exception parmi toutes les autres valeurs réelles et finies de X, que Ton convient d'admettre un point à Tinfini qui lui corres-

{. Cf. Clebsch, Leçons de géométrie, toc, cit.

pou de, et de dire que, pour X = -h 4, le point M est à V in fini (dans les deux sens à la fois).

4. Mais si le point à l'infini est nécessaire pour représenter une valeur finie du paramètre X, inversement le nombre infini devient nécessaire pour représenter le point à distance finie B dans la suite des valeurs numériques de X. En effet, si nous considérons mainte* tenant l'abscisse .a? du point M comme variable indépendante, le paramètre X deviendra une fonction de x définie par la formule (p. 239) :

Faisons parcourir au point M toute la droite X'X, de l'infini à Tinfini, ou plutôt (ce qui revient au même) du point A au point A, en passant par l'infini. Quand le point M est en A, x =± a; donc X = 0. Si le point M décrit la demi-droite infinie AX', X varie de 0 à -4- 1 ; si M décrit la demi-droite infinie XB, X varie de -h 1 à -h oo ; si enfin M décrit le segment fini BA, X varie de — oo à 0. A chaque point de la droite infinie correspond une valeur, et une seule, du paramètre X, excepté au point B. En effet, quand M est en B, x = b; la formule donne alors :

fraction qui, dit-on, n'a pas de sens. Ainsi la fonction X éprouve une discontinuité et cesse même d'exister au point B, qui est cependant un point ordinaire et quelconque de la droite X'X, tandis' que partout ailleurs, même à Vinfini, cette fonction est finie, déterminée et continue. Or, s'il convient de créer un point à l'infini pour combler une lacune dans l'ensemble des valeurs finies du paramètre X (lacune correspondant à la valeur h- 1), on est, pour la même raison, obligé d'admettre que X prend, au point B, une valeur numérique infinie, sans quoi il y aurait une solution de continuité (une coupure) entre les points représentés par les valeurs positives de X et les points représentés par ses valeurs négatives *. Le nombre infini est donc indispensable pour combler la lacune qui existe, dans la suite d'ailleurs continue des valeurs de X, entre les valeurs infiniment grandes positives et les valeurs infiniment grandes négatives, et pour fermer le cycle des valeurs par lesquelles passe X. Ainsi le nombre infini

1. On saisit encore ici sur le fait l'analogie du nombre infini et du nombre irrationnel [cf. Chap. i, 13].

244 lïv. IV. — l'infini mathématique

relie par continuité les valeurs extrêmement grandes de signes contraires, comme le point à l'infini relie les points extrêmement éloignés sur la droite dans les deux sens. Les valeurs numériques + oo et — oc attribuées à X se confondent en une seule (qu'on écrit.: oo), de même que les points situés à l'infini dans l'un et l'autre sens sur la droite X'X coïncident et n'en font qu'un. 11 y a donc une analogie parfaite, un parallélisme complet entre l'ensemble des points de la droite infinie et l'ensemble des valeurs finies et infinie de X, grâce à la correspondance uniforme établie entre eux. Concluons donc que, si la continuité arithmétique de l'ensemble des nombres réels justifie le point à l'infini comme correspondant au nombre fini -f- 1, la continuité géométrique de la droite indéfinie justifie le nombre infini comme correspondant au point B situé dans le fini. Les deux infinis, numérique et géométrique, semblent donc s'engendrer mutuellement, et Ton ne peut attribuer, jusqu'ici, l'antériorité logique à l'un plutôt qu'à l'autre !. .

5. Mais il faut retenir une chose de tout ce développement : c'est que le nombre infini s'impose en Analyse au même titre que le point à l'infini en Géométrie. On dit souvent, en Analyse, que « faire varier un nombre depuis — oo jusqu'à H- x » ne signifie rien de plus que : « attribuer à ce nombre toutes les valeurs réelles finies, tant positives -que négatives », et nous avons nous-même employé plus haut [3] cette expression en ce sens. Mais on voit par ce qui précède que cela n'est pas toujours exact, et que Y indéfini numérique ne suffit pas à l'Analyse et à la Géométrie analytique. On aurait beau attribuer à X des valeurs finies aussi grandes qu'on voudrait en valeur absolue, le point M serait aussi voisin qu'on voudrait du point B, mais ne coïnciderait jamais avec lui;. à plus forte raison, il ne pourrait pas le franchir et passer d'un côté à l'autre de ce point sur la droite continue X'X. "Pour obtenir le point fixe et précis B, il faut donner à X, non pas une valeur infiniment grande (c'est-à-dire variable), ce qui n'a pas de sens *, mais la valeur rigoureusement infinie ± oo , valeur fixe, unique et déterminée. Ce n'est que si l'on admette nombre infini que Ton pourra, en faisant varier X, faire passer le point M par le

i. Toutefois, l'infini géométrique paraît remporter sur l'infini numérique en valeur rationnelle, car la continuité géométrique a plus de raison d'être que la continuité arithmétique [III, m, 8].

2. Car à une variable X on ne peut assigner que des valeurs numériques fixes [cf. 111, iv, 6; IV, i, 5].

point B d'un mouvement continu; et au moment où le point mobile M coïncidera avec le point û\e B, la variable infiniment grande X atteindra sa limite fixe, oo , et passera par l'infini.

Cela montre en même temps que le nombre infini, bien qu'unique, est cependant susceptible d'un signe (-4- ou — ) et que les symboles -+- oo , — oc ne sont pas toujours réservés à l'indéfini, c'est-à-dire ne signifient pas seulement des valeurs infiniment grandes, positives ou négatives !. En effet, il y a lieu de distinguer le cas où une variable tend vers l'infini (et devient ensuite infinie) par des valeurs positives, de celui où elle y tend par des valeurs négatives : par exemple, quand X tend vers Vin fini négatif (on comprend cette locution abrégée) le point M tend vers B par la gauche; et quand X tend vers Vin fini positif, le point M tend vers B par la droite. Sans doute, d'une manière comme de l'autre, la variable atteint sa limite unique, l'infini, comme le point mobile M coïncide avec l'unique point fixeB; mais il n'est pas indifférent de savoir de quel côté le point est arrivé à son but, par quel bout la variable a atteint sa limite; il est donc naturel de dire, suivant les cas, que celle-ci tend, soit vers -4- x , soit vers — oo, tout en sachant bien que -h oo et — oo ne sont qu'un seul et même nombre. C'est pour des raisons analogues qu'on est amené, dans certaines considérations analytiques, à discerner deux sens du nombre zéro et h l'affecter d'un double signe ±» pour indiquer qu'il est la limite, soit d'un infiniment petit positif, soit d'un infiniment petit négatif; et cela, bien que zéro ne soit, à proprement parler, ni positif ni négatif, mais neutre, et qu'il soit bien entendu que H-0 ou — 0, c'est toujours 0.

6. L'exemple précédent, destiné à montrer l'origine arithmétique du point à l'infini, n'est pas concluant, puisqu'il montre aussi bien l'origine géométrique du nombre infini. Celui que nous allons exposer sera peut-être plus probant. Il présente, sous sa forme la plus élémentaire, un mode général de transformation qu'on désigne par le nom d' « homographie », et qui constitue une des méthodes les plus fécondes de la Géométrie projective. Si vraiment il ne faut voir dans la transformation homographique qu'une correspondance analytique, on devra reconnaître que la Géométrie moderne emprunte toute sa valeur et sa généralité à l'Algèbre, c'est-à-dire

1. Cf. Stolz, Arithmétique générale, t. I, chap. ix : On ne donne pas de signe a V infini proprement dit : oc, pour le distinguer de Yindéfini : dz « .

246 LIV. IV. — i/lNFINI MATHÉMATIQUE

en définitive à l'Arithmétique elle-même. C'est dans ce sens et dans cet esprit que la transformation homographique se trouve le plus souvent introduite dans les traités de Géométrie analytique *, et que nous allons nous-mème la présenter d'abord.

Etant données deux droites quelconques (dans le plan ou dans l'espace), X'X, Y% à chacune desquelles se trouve appliqué l'ensemble des nombres réels; si Ton appelle x l'abscisse d'un point de la première, y l'abscisse d'un point de la seconde, la relation

kxy -f- Bx + Cy -f- D = 0 (1)

établit une correspondance univoque et réciproque entre les points des deux droites considérées. En effet, elle est linéaire (du premier degré) par rapport kx et à y; donc, pour chaque valeur attribuée à y, elle donne une valeur unique et déterminée pour x (car elle devient alors une équation du premier degré en x) ; et inversement, ' pour chaque valeur attribuée à x, elle donne une valeur unique et déterminée de y. Si Ton donne à l'une des abscisses, # par exemple, une suite de valeurs réelles, l'autre abscisse, y, prendra des valeurs réelles correspondant une à une à celles de x; l'ensemble des premières sera figuré sur la droite X'X par une série de points; l'ensemble des secondes sera figurée par une autre série de points sur Y'Y. Ces deux séries de points fixes forment ce qu'on appelle des systèmes homographiques.

La correspondance ainsi établie entre les deux séries de points est en quelque sorte statique, et (pratiquement du moins) discontinue. Pour réaliser une correspondance continue entre tous les points d'une droite et tous les points de l'autre, il convient de recourir à l'idée de mouvement. On peut concevoir le point dont l'abscisse esta: (plus brièvement, le point x) comme mobile sur la droite X'X, et lui faire parcourir cette droite indéfinie tout entière ; le point y se déplacera simultanément sur la droite YT et passera, à chaque instant, par le point qui correspond à la position momentanée du point x sur X'X; et inversement, si Ton fait parcourir au point mobile y la droite indéfinie Y'Y tout entière, le point x se mouvra sur la droite X'X. Pour fixer les idées, soient A, B, C, D.... des points quelconques de la droite X'X, et soient A', B', C, D',.-« les points

I. Notamment dans l'Ouvrage élémentaire de Briot et Bouquet, déjà dté% n1" 315 sqq.

correspondants de la droite Y'Y (Fig. 21) : les deux systèmes A, B, C, D... et A', B', C, D',.-. sont homographiques, par définition. Toutes les fois que le point mobile M (d'abscisse x) passera par le point fixe A, le point mobile correspondant M' (d'abscisse y) passera par le point fixe A' ; et inversement. De même pour les autres couples de points correspondants : B et B', G et C, D et D', etc. Il faut bien remarquer que si le mouvement (idéal) des points M et M' est commode pour figurer la correspondance uniforme et continue des valeurs numériques de a; et de y, il ne l'explique pas; au contraire, il la suppose. Le point mobile M suppose donné, pour se mouvoir, l'ensemble continu des points fixes par lesquels il passera, et de même le point M' suppose donné l'ensemble continu de ses positions successives. L'un et l'autre ne font que désigner tour à tour des points fixes marqués d'avance sur chaque droite [cf. III, iv, 6].