M' A' B* CD' <T

Fig. 21.

7. Au point de vue analytique, on peut d'abord considérer chacun des nombres x et y comme une inconnue dont la valeur fixe dépend de la valeur numérique fixe attribuée à l'autre. Si l'on donne la valeur de t/, on aura la valeur correspondante de x par la formule

CiL±D {2)

Si au contraire on donne la valeur de x, on aura la valeur correspondante de y par la formule

Bx ■+■ D -„v

y^-Âx-^c- (3)

On peut ensuite considérer les nombres x et y comme deux variables réelles dont les variations continues sont liées par la relation (1); si y est variable indépendante, la formule (2) définira x comme fonction de y; si au contraire x est variable indépendante, la formule (3) définira y en fonction de x. En résumé, suivant le point de vue, l'égalité (1) peut être conçue comme une équation du pre-

248 LIV. IV. — l'infini mathématique

mier degré à une inconnue, ou comme une relation linéaire entre deux variables, dont l'une est définie comme fonction implicite de l'autre; et les formules (2) et (3) peuvent être conçues, soit comme les solutions de l'équation (1), fournissant les racines en x ou en y de cette équation; soit comme définissant l'une des deux variables x ou y en fonction rationnelle explicite de l'autre. Ces deux points de vue sont, respectivement, celui de l'Algèbre et celui de l'Analyse, que nous nous sommes attaché à distinguer dans le cours de cet Ouvrage [voir H, iv, 6]. Mais il ne faut pas oublier que ces deux points de vue sont plutôt superposés qu'opposés, et que la correspondance fonctionnelle établie entre les deux variables x et y repose, en définitive, sur la relation algébrique entre la valeur donnée de Tune et la valeur inconnue de l'autre. Si la relation (1) relie entre elles les variations continues des deux variables, c'est parce que, à toute valeur numérique particulière (réelle) assignée à Tune, Yéqualion (i) fait correspondre, une valeur numérique fixe de l'autre, et qu'il suffit de substituer la première dans l'une des formules (2) ou (3) pour en tirer la seconde.

Ainsi la correspondance analytique des points M et M' exprimée par la relation (1) revient, au fond, à la dépendance algébrique que les formules (2) et (3) établissent entre les deux indéterminées x et y, et celle-ci se réduit, en dernière analyse, à une relation arithmétique entre les valeurs numériques déterminées des deux variables. C'est donc, en somme, sur de simples égalités numériques que repose la correspondance géométrique des points des deux droites X'X et Y'Y; et la transformation homographique n'est que l'image ou 1' « illustration » d'un ensemble de calculs.

8. Nous avons dit plus haut que, par la transformation homographique, on réalise une correspondance uniforme entre tous les points de la droite indéfinie X'X et tous les points de la droite indéfinie Y'Y. Or cette assertion est sujette à une double exception, tant que l'on regarde les deux droites comme simplement indéfinies. En effet, lorsque le point mobile M' de la seconde droite s'éloigne indéfiniment dans un sens ou dans l'autre, le point homologue M de la première tend vers une position-limite I donnée par la formule

De même, lorsque le point M de la première droite s'éloigne indé-

Cil. II. — JUSTIFICATION DE L INFINI GÉOMÉTRIQUE 249

finiment dans un sens ou dans l'autre, le poinl M' de la seconde tend vers la position-limite J' donnée par la formule !

. Mais tant que le point M' reste à dislance finie sur la droite Y'Yr jamais le point M ne coïncide avec le point I ; et tant que le point M restera à distance finie sur X'X, jamais le point M' ne pourra coïncider avec le point J'. Ces deux points fixes, situés à distance finie sur les droites respectives, représentent donc des coupures de l'ensemble des positions des deux points mobiles, et constituent pour chacun d'eux un obstacle infranchissable : aucun des deux points mobiles ne peut ainsi parcourir la droite entière d'une manière continue, en tant du moins qu'il ne doit pas cesser de correspondre à un point « réel » de l'autre droite, conçue cemme indéfinie seulement. Chacune d'elles est partagée en deux tronçons (demi-droites) qui se correspondent chacun à chacun, et sur chacun desquels on peut faire évoluer un point mobile * ; mais on ne peut faire passer ce point d'un tronçon sur l'autre, de sorte que les deux tronçons d'une même droite continue sont aussi « incommunicables » que le seraient deux droites parallèles, ou non situées dans un même plan. C'est pour faire disparaître ces solutions de continuité, et pour combler celte double lacune dans l'ensemble des valeurs réelles attribuées à chacune des variables x et ?/, que l'on convient d'admettre sur la droite Y'Y un point à l'infini 1', homologue du point 1 de la droite X'X, et sur la droite X'X un point à l'infini J, homologue du point J' de la droite Y'Y. Chacun des points M et M' peut dès lors parcourir la droite respective tout entière : quand le point M passe par le point I, le point M' passe par I', c'est-à-dire par le point à l'infini sur Y'Y; et quand le point M' passe par J', le point M passe par J, c'est-à-dire par le point à l'infini sur X'X3; et inversement, on peut « faire passer par l'infini » ou « envoyer à l'infini » l'un des points mobiles, sans que l'autre cesse d'occuper une position déterminée et à distance finie. Le point à l'infini est donc destiné à com-

i. Briot et Bol'QI'bt, Géométrie analytique, n° 315.

2. Dans la fit/, S/, le tronçon I X correspond au tronçon Y'J , et le tronçon J'Y au tronçon X'1.

3. Dans ce cas, on peut dire que le tronçon IJ correspond au tronçon I J', et le tronçon JT au tronçon JI, ce qui ressort de l'écriture. Cf. Stai dt, Géométrie (ter Lage, n° 61.

250 LIV. IV. -— l'infini mathématique

pléter chacune des deux droites dans un intérêt purement analytique ; cette position fictive du point mobile, qui n'a aucune réalité géométrique, sert à fermer le cycle de ses positions « réelles », ou plutôt des valeurs numériques réelles que prend son abscisse. En somme, c'est pour achever de rendre uniforme la correspondance analytique entre les deux variables x et y qu'on invente pour chacune d'elles une valeur infinie, et le point à l'infini de chacune des droites n'a d'au Ire but que de figurer le nombre infini dans la transformation homographique. Les analystes rigoureux ne lui attribuent pas d'autre sens.

9. Telles sont les considérations par lesquelles on cfoit pouvoir justifier les éléments à l'infini de l'espace comme la simple traduction en langage géométrique d'un fait essentiellement analytique. On voit par là l'analogie qui existe, en Géométrie analytique, entre les éléments à l'infini et les éléments imaginaires, qui, eux aussi, sont généralement introduits comme des façons symboliques et abrégées de parler, comme des noms géométriques donnés à des valeurs purement algébriques. Il n'était donc pas inutile d'examiner cette conception des imaginaires, et de rechercher quelle pouvait être la valeur géométrique de ces symboles [III, m, 14-17; iv, 24], car la même question se pose pour l'infini géométrique, et doit sans doute être résolue de même. Les développements où nous sommes entré au sujet des imaginaires étaient destinés à préparer et à éclaircir ce que nous allons dire de l'infini.

Cherchons comment on détermine, analytiquement, les points I et J', qu'on dit homologues de l'infini. En d'autres termes, comment sait-on, par exemple, que, si M s'éloigne indéfiniment, M' tend vers J'? C'est que, quand x croit indéfiniment, y tend vers la valeurlimite finie

En effet, la formule (3) donne en général

___ Bar-h D

Or, quand on fait croître x indéfiniment, chacun des deux termes de cette fraction tend vers l'infini, de sorte que la limite de y, pour x infini, se présente sous la forme indéterminée :

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Cil. II. — JUSTIFICATION DE L INFINI GÉOMÉTRIQUE 251

Pour trouver, comme on dit, la vraie valeur de cette limite, on met x en diviseur dans les deux termes de la fraction :

Quand on fait tendre x vers l'infini, chacune des fractions

-, -, dont le numérateur est constant et fini, tend vers zéro, de

sorte que la limite de y, pour x infini \ prend la forme finie et fixe :

En général, quand on veut trouver la valeur d'une fonction algébrique pour la valeur infinie de la variable, on élimine celle-ci en la faisant passer en dénominateur, et Ton égale à zéro toutes les fractions où la variable figure en dénominateur. Or cela revient à poser directement

Mais cette formule, équivalente à celle-ci :

n'a pas de sens pour les mathématiciens rigoureux, car on ne sait pas plus ce que c'est de diviser par Y infini que de diviser par zéro. On nous dira peut-être que ces deux formules n'ont qu'un sens symbolique et pour ainsi dire asymptoiique : elles signifient simplement que le quotient d'un nombre fini par un nombre infiniment grand est un nombre infiniment petit, et que le quotient d'un nombre fini par un nombre infiniment petit est un nombre infiniment grand. Elles n'impliquent donc que l'indéfini numérique (par exemple la suite indéfinie des nombres entiers), et non l'infini proprement dit.

Sans doute, répondrons-nous; mais alors de quel droit annule-

t-on toute fraction telle que -, -, où la variable infiniment grande x

figure en dénominateur? De deux choses l'une : ou le nombres, tout en

G D croissant indéfiniment, reste fini, et alors les fractions -, - ont une

' 7 xx

1. Pour connaître le sens précis et rigoureux de ces expressions abrégées, voir Note II, 11.

valeur finie non nulle, et on ne peut les négliger sans erreur; ou bien ces fractions deviennent rigoureusement nulles, et alors le nombre x doit être supposé infini. C'est le même raisonnement qui nous a servi à interpréter [Chap. i, 3] la formule

Tant que le dénominateur delà fraction — n'est- pas nul, mais infiniment petit, la fraction est infiniment grande, et non infinie; mais si l'on annule le dénominateur, alors la fraction devient rigoureusement infinie.

Or c'est justement ce qui arrive à l'expression de x en fonction de y

quand y tend vers la limite finie — r- :

CjM-D (9)

X— Ay-bB* K~}

En effet, la valeur y = — ~r est précisément celle qui annule le dénominateur de j-, puisque c'est la racine de l'équation :

Aj/ -4- B — 0.

Ainsi, tant que y est infiniment voisin de la valeur — - (c'est-à-

dire que le point M' est infiniment voisin du point J'), la valeur de x est infiniment grande, c'est-à-dire finie; donc le point M correspondant est à distance finie sur la droite X'X. Mais quand le point M'

coïncide avec le point J', y devient exactement égal à — -r, et par

suite x devienl rigoureusement infini. En résumé, lorsque y atteint

sa limite, qui est le nombre fini — ^, x doit atteindre aussi sa limite,

qui est le nombre infini.

Voilà pourquoi, dans la formule (3), on peut aussi « passer à la

G D limite », comme on dit, et annuler les fractions -, — en faisant x

égal à l'infini, de manière à obtenir la valeur rigoureusement exacte de y y c'est-à-dire la position précise du point M' qui correspond au point à l'infini J sur X'X. Mais si un tel « passage à la limite » est possible et valable, ce n'est pas, assurément, en considérant x et y comme des nombres purs. Si Ton s'assujettit à ne donner à x que des valeurs réelles, à le faire croître, par exemple, par tous les nombres entiers consécutifs, il est trop clair qu'on n'arrivera

Cil. II. — JUSTIFICATION DE i/lNFIM GÉOMÉTRIQUE 253

jamais au bout de la suite naturelle des nombres (attendu qu'elle

n'en a pas), et que le nombre x restera toujours fini. Il ne peut pas

plus atteindre sa limite, que son inverse - ne peut atteindre sa

limite zéro, ou qu'en général une variable assujettie à prendre successivement une suite discontinue de valeurs numériques ne peut atteindre la limite de cette suite '. Mais il en va tout autrement, si les nombres x et y représentent des grandeurs dont le caractère essentiel est de varier d'une manière continue, telles que sont les abscisses des points M et M' sur leurs droites respectives. Alors il est permis d'assigner pour terme au déplacement d'un de ces points mobiles un point fixe quelconque de sa droite, et par suite d'assigner pour limite à la variable y une valeur réelle finie quelconque,

— -7 par exemple; et pour le passage ïontinu à la limite :

limy = — j,

on aura le passage continu à la limite correspondant :

lim x = oo ,

ce qui veut dire que le point M se trouve, sur la droite X'X, à une distance telle qu'aucun nombre réel fini ne peut la représenter (c'est en ce sens que l'infini numérique est un symbole d'impossibilité), et que, si l'on veut la désigner par un symbole numérique, il faut créer pour elle un nouveau nombre, le nombre infini. De plus, comme cette dislance est le suprême état de grandeur (état-limite) d'une longueur qui devient plus grande que toute longueur donnée et qui dépasse tout segment fini, il convient de considérer le nombre infini comme plus grand que tout nombre réel, et comme supérieur, en particulier, à tous les nombres entiers qui composent la suite naturelle 4, 2, 3, tout en le regardant comme leur limite (au sens

large du mot) *.

Ainsi l'exemple que nous venons d'étudier se retourne contre la conception purement analytique de l'infini, par laquelle on prétend d'ordinaire justifier l'infini géométrique ; et il se trouve, au contraire,

que l'infini algébrique de la forme jr n'a de sens et de valeur que par la considération de la continuité, et par son application aux

i. Cf. Chap. i, 4.