Cf. Noie 11, il
254 LIV. IV. — l'infini mathématique
grandeurs géométriques. En particulier, le point à l'infini ne se justifie nullement comme symbole géométrique du nombre infini; il semble bien plutôt que le nombre infini ait été inventé tout exprès pour donner au point à l'infini un symbole numérique indispensable \
10. On donne encore, en Géométrie analytique, une explication plus élégante et plus raffinée des points à l'infini, au moyen des coordonnées homogènes; mais cette justification subtile et détournée n'a pas plus de valeur, au fond, que celle que nous venons d'exposer sous une forme tout à fait élémentaire. Nous allons l'exposer et la discuter brièvement, en employant toujours le même exemple.
Posons
x. yt
Les nombres ol\ et xv yi et y% sont les coordonnées homogènes des points M et M' sur leurs droites respectives. On voit que la position de chaque point ne dépend pas de la valeur absolue ou grandeur de ses coordonnées homogènes, mais seulement de leur rapport ou quotient. Cette notation a l'avantage de rendre homogènes les équations de Géométrie; ainsi la relation (1) devient :
*i y* xt yt
ou
' A^y, H- B#,y8 -+- Gr2y, -4- D#,y2 — 0. (1 bis)
De même, les formules (2) et (3) donnent les suivantes (qu'on pourrait aussi tirer directement de l'équation 1 bis) :
y. Bx.-\- Bxi /.j a- \
* y% \xx -f- Cxt x
Les variables xv xv yv y, peuvent prendre toutes les valeurs réelles finies : à chaque couple de valeurs attribuées à xv xt correspond un point unique et déterminé M, et en même temps (par la formule 3 615) un point unique et déterminé M'. Ces deux points sont homologues, c'est-à-dire se correspondent dans la transformation homographique (1 bis) équivalente à la relation (1).
4. On remarquera l'analogie de cette interprétation du nombre infini avec celle que nous avons donnée du nombre irrationnel [III, m, 7, 8].
2-rnr. "••>"*Vi^' '"?■"> 7. *-«-;---■ -- ^ ■■■-,• /.r" .- i^~^ •>--.- .- --7.-/ ^ -'■- ;; .--;- ■ . • ■ ■•>■■• •••
Or, si l'on fait x, = 0 (xt ayant une valeur quelconque non nulle),
la formule (3 bis) donne
Dxt D tf"~ Car,"" C*
C'est ce qu'on aurait trouvé en faisant simplement x nul dans la formule (3). Si au contraire on fait xt = 0 (r, ayant une valeur quelconque non nulle), on obtient de la même manière
Bxt B ^ A#, A'
C'est la valeur qu'on a trouvée pour y quand x est inGni [8]. Il semble donc que les coordonnées homogènes éludent la nécessité d'admettre le nombre infini, et permettent de dire : Le point à l'infini sur X'X est celui qui a pour coordonnées xx et 0; autrement dit, celui pour lequel xt est nul. On évite ainsi, semble-t-il, toute considération d'infini numérique, et l'on justifie directement le point à Tinfini en n'admettant que des valeurs finies pour les coordonnées de tous les points de la droite X'X, ou de toute autre droite.
Mais il est aisé de voir que ce subterfuge tourne la difficulté, sans la supprimer. En effet, l'abscisse du point M prend alors la forme
et Ton est obligé d'admettre que l'abscisse du point à l'infini a une valeur infinie. D'ailleurs, si l'on fait, dans la formule (2 bis),
par exemple
»i = B, y, = — A, l'on trouve
BC -AD AD — BC r ~ ~~ AB — AB E 0
c'est-à-dire une fraction dont le numérateur n'est pas nul, et dont le dénominateur est zéro. On retombe toujours sur Tinfini numérique que l'on semblait avoir écarté, et qu'on a seulement masqué. Et en effet, au point de vue purement arithmétique, on n'a le droit de poser
xa
236 LIV. IV. — l'infini mathématique
que si xs est toujours différent de zéro; cette formule n'a de sens numérique que sous cette réserve expresse, et il est toujours sousentendu que le dénominateur d'une fraction ne peut jamais s'annuler, car on ne doit jamais, en Algèbre, diviser par zéro. En supposant ensuite xt = 0, on viole cette condition implicite, et dès lors les formules n'ont plus aucune valeur, du moins en Arithmétique1. Comment se fait-il, cependant, que les mathématiciens les plus rigoureux, qui n'admettraient jamais, dans un calcul numérique,
une fraction de la forme j: , ne se font pas scrupule de poser xt = 0,
c'est-à-dire
x — îi ?
C'est sans doute parce qu'ils sentent, d'instinct, que les mêmes formules algébriques qui n'ont pas de sens quand il s'agit d'opérer sur des nombres, sont valables quand on traite des grandeurs continues, comme en Géométrie ou en Analyse; et que leur continuité même permet de « passer à la limite », c'est-à-dire de substituer à chaque grandeur sa valeur-limite, sans que les formules cessent d'être vraies, et par suite de remplacer les infiniment petits par ztro, et les infiniment grands par Y in fini. Nous n'avons pas fait autre chose, dans les pages qui précèdent, que d'invoquer, en les développant, ces raisons latentes dont les savants n'ont le plus souvent qu'une obscure conscience qu'on nomme le sentiment ou le « flair », mais qui les guident dans leurs déductions et surtout dans leurs inventions; et nous ne pouvons justifier l'inûni qu'en faisant appel, en chacun de nos lecteurs, à cet instinct mathématique dont le vrai nom est la raison.
1. Les mômes considérations s'appliqueraient au paramètre À du § 2. On pourrait sans doute éviter de le rendre infini, en le remplaçant par le rapport
™ : la formule (p. 239) :
bm — an
exprimerait l'abscisse du point M en fonction des deux nombres m et n (coordonnées biponctuelles du point M rapporté aux points A et B). Pour m = 0, x = a; pour n = 0, x = b. Ainsi Ton n'attribue jamais aux coordonnées m et n que des valeurs finies (ou nulles). Mais par ce détour on déguise l'infini plutôt qu'on ne l'élude : car ce qui fixe la position du point M sur la droite X'X, ce n'est pas la valeur absolue des nombres m et n, mais seulement leur rapport. Or, si le rapport de 0 à n (non nul) existe, et est nul, le rapport de m (non nul) à 0 doit exister aussi, et il est infini fil, n, 22; cf. 2* P. Il, iv, 10 sqq.].
