CHAPITRE III

justification de i/lnfini numérique par l'infini géométrique

1. Nous croyons avoir établi que l'infini géométrique ne peut se justifier rationnellement par des considérations algébriques, et que l'origine analytique qu'on lui attribue en général est insuffisante à rendre compte de la valeur et de la fécondité de l'infini en Géométrie. Il n'en est pas moins vrai que, jusqu'ici, Tiufini parait s'introduire dans la Géométrie par l'Algèbre, et qu'en particulier nous avons présenté les points à l'infini comme représentant la racine de l'équation du premier degré dans le cas d'impossibilité, c'est-à-dire une

fraction algébrique de la forme -^ [if 1-3]. De même, nous avons défini

la relation homographique entre deux droites (considérées comme ensembles de points) au moyen d'une équation algébrique [n, 6]. En vain nous pourrions raisonner ensuite sur les points à l'infini de ces deux droites comme ayant une existence géométrique, indépendante de tout système de coordonnées; nous ne pouvons oublier qu'ils doivent leur naissance à un fait de calcul algébrique, et cela suffît pour qu'on ne puisse nier leur origine analytique, c'est-à-dire, au fond, arithmétique. Mais, comme d'autre part nous avons montré que le nombre infini se justifie malaisément au point de vue arithmétique pur, et qu'il n'y a, en Algèbre, aucune raison d'admettre les

fractions de la forme jr à titre de nombres véritables, il en résulte

que ni l'infini géométrique ni l'infini numérique n'ont de valeur rationnelle, et qu'ils ne sont, en somme, que des façons commodes et abrégées de parler, des symboles purement conventionnels dénués de réalité. Loin de pouvoir justifier l'infini géométrique, l'infini

numérique ne réussit pas à se justifier lui-même, et a peine à se soutenir. Si donc l'infini géométrique a quelque valeur et quelque utilité (or cette valeur et cette utilité sont incontestables, et ne sauraient être exagérées), il doit pouvoir se justifier par la Géométrie pure; nous allons montrer qu'en effet on peut lui assigner une origine exclusivement géométrique, et lui attribuer une existence absolument indépendante de toute considération analytique.

2. Tout d'abord, pour dissiper la prévention qu'a pu faire naître la manière dont nous avons exposé le fait géométrique de l'infini dans le Chapitre i, il faut remarquer que si, au début de ce Chapitre [13], nous avons paru l'introduire par l'Algèbre (comme solution d'une équation du premier degré), à la fin du même Chapitre [8-10], nous l'avons présenté par des considérations de Géométrie pure, indépendamment de toute représentation numérique, en invoquant seulement des raisons tirées de la continuité propre aux grandeurs. Ce que nous avons dit de cet exemple particulier peut se répéter dans tous les cas où figurent des éléments à l'infini. En général, on peut dégager l'infini géométrique de son origine algébrique, et le justifier par des raisonnements fondés sur la simple considération des figures. Aussi l'infini joue-t-il un rôle important, non seulemeut dans la Géométrie analytique, où il apparaît, comme nous l'avons vu, sous la forme numérique tt, mais dans

la Géométrie synthétique moderne, où il se présente sous la forme de points à l'infini, de droites à l'infini et de plan de l'infini. Il y a plus : on peut définir l'infini géométrique et exposer toutes ses propriétés sans recourir une seule fois à la considération de la quantité (de la longueur par exemple), et en tenant seulement compte des rapports de situation entre les éléments des figures. En d'autres termes, la Géométrie comprenant deux parties, la Géométrie métrique, où l'on étudie les rapports de grandeur des figures, où on les mesure, et la Géométrie projective^ où l'on étudie les figures dans leur disposition et leur construction, et où on les transforme par projection sans s'occuper de leur grandeur absolue, c'est & celle-ci que nous voulons demander la justification de l'infini géométrique; et si nous montrons que l'infini apparaît dans les relations purement projectives des figures, et s'explique entièrement par elles, nous aurons prouvé qu'il ne doit nullement son existence & des faits de calcul, car il sera ainsi indépendant, non seulement

de toute représentation analytique où pourrait s'insinuer l'infini numérique, mais même de tout rapport de grandeur.

3. C'est d'ailleurs la méthode que nous avons déjà employée dans le Chapitre i [12] ; car tous les raisonnements que nous avons faits sur la figure 1 8 reviennent à ceci : le faisceau de droites issu du centre 0 et la série de points qui constitue la droite X'X sont en relation projective, chaque rayon issu du point 0 correspondant au point M où il rencontre la droite X'X; et pour que cette correspondance soit complète, on doit admettre que le rayon BC (parallèle à X'X) rencontre X'X à l'infini, de sorte qu'à ce rayon correspond le point à l'infini sur X'X. C'est par des considérations analogues que nous pouvons interpréter géométriquement la correspondance homographique établie, dans le Chapitre n [6], entre les points des deux droites X'X, YT au moyen de la relation algébrique (1) entre leurs abscisses respectives. En effet, « lorsqu'on a sur deux droites deux systèmes de points homographiques, on peut placer les droites de manière que l'un des systèmes soit la perspective de l'autre f » ; il suffit de les placer toutes deux dans un même plan, « de manière à faire coïncider deux points homologues, A et A'; les droites BB', CC\ qui joignent deux couples de points homologues, se coupent en un point 0; la droite OM, qui joint le point 0 à un point quelconque M de la première droite, passera par le point homologue M' de la seconde ». En résumé, l'on met les deux droites en perspective, de telle sorte que chacun des systèmes de points marqués sur l'une d'elles soit la projection de l'autre sur cette droite, projection faite du centre 0, et que, pour cette raison, on nomme projection centrale (Fig. 22) '. Dans cette position particulière, la relation métrique que l'équation (1) établit entre les deux systèmes de points est figurée par la relation projective que le faisceau de rayons issu du point 0 établit entre les deux droites; ou plutôt, la relation métrique est, en réalité, dérivée de cette relation projective, et doit en être considérée comme la traduction en langage algébrique : car on montre aisément que la correspondance toute géométrique des points M et M' s'exprime, en Géométrie analytique, par une relation algébrique de cette forme (1) entre leurs abscisses x, y, c'est-à-dire par une équation du premier degré par rapport à chacune des deux variables x, y 3.