Cf. Briot et Bouquet, toc. cit

260 LIV. IV. — l'infini mathématique

Il convient de remarquer que les deux droites X'X, Y'Y sont mises en relation projective au moyen du faisceau de rayons issu du point 0, qui est lui-même en relation projective avec chacune d'elles, d'après ce qui vient d'être dit au sujet de la figure 4 8; de sorte que les points homologues, dans les deux systèmes de points, sont ceux qui se trouvent sur le même rayon du faisceau. Or, dans ce faisceau, au point à l'infini sur X'X correspond le rayon parallèle à X'X, lequel coupe Y'Y au point J'; ce point J' sera donc l'homologue de l'infini sur X'X. De même, au point à l'infini sur Y'Y correspond le rayon parallèle à Y'Y, lequel coupe X'X au point I; ce point I sera donc l'homologue de l'infini sur Y'Y. Ainsi se trouvent construits géométriquement les points homologues des points J et 1' situés & l'infini sur X'X, Y'Y respectivement; et cela, sans avoir eu le moins du monde recours à la relation analytique (1) entre x et y. Au contraire, c'est de cette construction géométrique si simple qu'on peut tirer la valeur exacte de l'abscisse des points I et J' :

sans aucune considération d'infini numérique *.

On voit que la correspondance homographique entre les points M et M' peut se définir par une simple relation de position, à savoir par leur identité de situation par rapport au point 0 (puisqu'ils se trouvent en ligne droite avec ce point fixe), et non par une relation analytique, soit entre les grandeurs géométriques AM, A'M', soit entre les nombres ar, y qui représentent celles-ci. Les points à l'infin sur les deux droites X'X, Y'Y ne sont donc point inventés pour figurer les valeurs infinies que prennent les nombres x et ?/, et ne découlent nullement de l'infini numérique ; ils s'expliquent complètement par des raisons géométriques, et même purement projectives, c'est-à-

1. En effet, soient x0y i/o les coordonnées du point 0 par rapport aux axes AX, AY, ce seront les abscisses respectives des points I et J'; or la relation :

Xxy + hx + Cy + D = 0 prend dans ce cas la forme :

XV — y<& — x<>y = 0 ; d'où Ton conclut immédiatement, en identifiant les coefficients :

CH. ni. — JUSTIFICATION DE L'iNFIM NUMÉRIQUE 261

dire par des considérations de situation. C'est au contraire parce que la Géométrie projeclive découvre des points situés à l'infini qu'on a besoin, en Géométrie métrique, de grandeurs infinies (longueurs) destinées à exprimer leurs rapports de situation sous forme quantitative, et qu'on est obligé, en Géométrie analytique et en Algèbre, d'admettre des valeurs numériques infinies pour représenter ces grandeurs géométriques. L'ordre rationnel des notions est donc le même pour l'infini que pour les imaginaires : le symbolisme imaginaire représente d'abord les points du plan, c'est-à-dire des situations, puis des vecteurs du plan, c'est-à-dire des grandeurs, et c'est ainsi qu'on parvient à donner un sens aux nombres complexes [cf. III, iv, 1-2]. De même, l'infini "apparaît d'abord en Géométrie comme situation; il se traduit ensuite en grandeur, et enfin en nombre, et c'est ainsi que se justifie le nombre infini.

4. On- nous demandera sans doute comment l'infini de situation peut apparaître en Géométrie pure, alors que son caractère essentiel est d'échapper à toute intuition. Nous ne pouvons mieux répondre à cette question qu'en traduisant les définitions purement géométriques et presque intuitives que Christian von Staudt, un des fonda-

teurs de la Géométrie projective *, a données des éléments infiniment éloignés de l'espace ' :

« 54. On a vu (§ 3) qu'en beaucoup de cas un point est remplacé par une direction, une droite par une position 3, et qu'ainsi les éléments d'une droite comprennent encore sa position et toutes les directions qui y sont contenues. » Par exemple : « Deux droites situées dans un même plan ont, ou un point commun, ou une même direction *. Deux plans ont, ou une droite commune, ou une même position 4. Un plan contient, soit un seul point d'une droite, soit seulement la direction de cette droite B. 11 ne sera donc pas inutile d'introduire pour la direction et la position d'autres expressions qui rappellent immédiatement ce qu'elles remplacent, de manière que les propositions qui ne sont que des modifications particulières d'autres propositions, soient aussi énoncées comme telles. »

L'auteur considère ensuite (55) la rotation d'une droite mobile autour d'un point fixe extérieur à une droite fixe qu'elle coupe en général, ainsi que nous avons fait [i, 12]; il montre comment « on peut dire de deux droites parallèles qu'elles se rencontrent en un point infiniment éloigné6», et il ajoute : « Une droite apparaît ainsi, quand on lui assigne un point infiniment éloigné où elle est coupée par toutes les droites et tous les plans qui lui sont parallèles, comme une ligne fermée... »

Empruntons encore au même auteur la définition de la droite à l'infini et du plan de Vinfini, dont nous aurons besoin dans la suite :

« 56. Tous les points infiniment éloignés d'un plan sont dits situés sur une ligne infiniment éloignée, et comme toute droite du plan la coupe en un seul point, on l'appelle une droite.

« 57. Tous les points et droites infiniment éloignés (dans l'espace) sont dits situés dans une surface infiniment éloignée, et comme toute droite la perce en un point et que tout plan la coupe suivant une droite, on l'appelle un plan. »

Nous avons tenu à citer textuellement ces deux phrases, parce

1. Après nos compatriotes Carnot, Porcelet et Chasles, et les Allemands Steineb et PlOceer.