C'est-à-dire : lui est parallèle

6. Cette expression, que nous employons dans le sens d'indéfini, a pour l'auteur un sens rigoureusement infini.

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qu'elles justifient par des raisons purement géométriques ces expressions de droites et de plan à l'infini, qu'on explique d'ordinaire par des considérations analytiques \ en disant que les points à l'infini du plan ou de l'espace vérifient une équation linéaire (du premier degré) tout comme les points d'une droite ou d'un plan situés à distance finie, ou, comme on dit aussi, dans le fini *. C'est par des raisons analogues que nous avons montré [i, 11] qu'une di-oite n'a qu'un point à l'infini, en considérant la relation projective qui unit l'ensemble des points de la droite X'X à l'ensemble des rayons du faisceau 0 (Fig. 18). Ainsi l'introduction de l'infini en Géométrie pure se trouve dégagée de toute considération algébrique.

5. Mais cela ne suffit pas encore pour justifier l'infini géométrique. On pourrait, en effet, nous objecter qu'il n'y a là que des manières commodes et abrégées de parler, et les citations mêmes que nous venons de faire semblent confirmer cette objection, car les « éléments à l'infini » y sont présentés comme de simples noms donnés à la direction d'une droite et à la position d'un plan, pour l'uniformité du langage. Pour repousser cette objection, il faut montrer que ces éléments à l'infini sont autre chose que des expressions symboliques ou des métaphores, qu'ils ont une valeur et une existence réelles; or une telle existence, qui n'est évidemment pas intuitive, ne peut se manifester que par la vérité des propositions fondées sur la considération de l'infini.

Remarquons tout d'abord que si Staudt prête par son langage2 le flanc à la critique précédente, il nous indique en même temps le moyen d'y échapper, car il annonce que, grâce à l'emploi des expressions « points, droites, etc. à l'infini », les propositions où il est question de directions et de situations communes, c'est-à-dire de droites et de plans parallèles, rentrent comme cas particuliers dans celles ou figurent les points ou les droites ordinaires, c'est-àdire où les droites et les plans considérés se coupent dans le fini. Cette conception infinitiste, qui est le fondement de la Géométrie projective *, est d'ailleurs fort ancienne, et remonte aux origines de