Aperçu historique, Cliap. VI, § 14, note

266 LIV. IV. — l'infini mathématique

graphie, transporter à une figure du même genre, mais dont les mêmes parties sont placées à des distances finies. »

7. Ces derniers mots laissent entrevoir l'analogie intime des éléments à l'infini avec les éléments imaginaires de la Géométrie, car les parties imaginaires d'une figure correspondent, en général, aux parties réelles d'une autre figure du même genre; et de même que les propriétés projectives d'une figure finie subsistent, si grande qu'elle soit, et persistent même quand elle devient infinie1, de même les relations qui existent entre les parties réelles d'une figure se conservent, lors même que certaines de ces parties sont devenues imaginaires*. C'est donc toujours, au fond, le principe de continuité* qui, selon la vue profonde de Poncelet 4, fait la valeur des éléments imaginaires comme des éléments à l'infini; c'est-à-dire le même principe qui était pour Leibnitz le nerf de son Calcul infinitésimal, et plus généralement la pierre de touche de toute vérité*.

Pour montrer que c'est bien sur ce principe qu'est fondé l'emploi de l'infini en Géométrie, et que c'est à lui qu'il doit son utilité et sa légitimité, il suffira de rappeler ces propositions, paradoxales à l'origine, et devenues banales : « La ligne droite est une circonférence de rayon infini; le plan est une surface sphérique de rayon infini ». Ce ne sont pas là des métaphores ou des jeux de mots : ce sont des vérités géométriques exactes et fécondes. On peut, en toute rigueur, traiter une droite comme un arc de cercle, et toutes les propriétés de la circonférence seront vraies de la ligne droite, si l'on envoie le centre à l'infini. De même, « la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde 6 » ; aussi la

1. L'étude des propriétés des ligures qui restent invariables, soit dans un changement d'axes de coordonnées, soit dans une transformation homographique ou.dualistique (l'un et l'autre représentant une substitution linéaire), se ramène à la recherche des invariants, et c'est pourquoi la Géométrie projective correspond analytiquement à la théorie des formes algébriques. Voir Clebsch, Leçons de Géométrie, t. I, chap. m.

2. Principe des relations contingentes de Chasles (Aperçu historique, Cinquième époque, §§ 10-15).