Traité des propriétés projectives des figures

5. • Lorsque la différence de deux cas peut être diminuée au-dessous de toute grandeur donnée in datis, ou dans ce qui est posé, il faut qu'elle se puisse trouver aussi diminuée au-dessous de toute grandeur donnée in quxsitis, ou dans ce qui en résulte... » Nouvelles de la République des Lettres, mai 1687, p. 744.

G. Chasles, Aperçu historique, Cinquième époque, § 45.

CH. III. — JUSTIFICATION DE L'iNFINI NUMÉRIQUE 267

Géométrie sphérique peut-elle être considérée comme un « mode de généralisation des propriétés des figures planes. » Or, si Ton peut passer des figures planes aux figures sphériques, et inversement, et appliquer aux unes les propriétés démontrées pour les autres, c'est parce que le cas particulier du plan se relie par continuité aux cas où la sphère a un rayon infiniment grand, mais fini; et de même, si la droite peut être regardée comme un cas particulier de la circonférence, c'est qu'elle est la figure-limite d'une circonférence dont le rayon croit indéfiniment. Que des considérations infinitistes de ce genre aient une valeur scientifique et soient riches en conséquences importantes, c'est ce qu'un exemple fera mieux comprendre.

8. Un théorème bien connu, dû à Ptolémée, s'énonce comme suit : « Le produit des diagonales du quadrilatère inscrit au cercle est égal à la somme des produits des côtés opposés. » Soit un quadrilatère convexe * ABGD inscrit dans un cercle (Fig. 24). Le théorème de Ptolémée se traduit par l'égalité suivante :

AC. BD = AB. CD -f- AD. BC

où les segments indiqués ne figurent que par leur longueur et sont, par conséquent, représentés par des nombres absolus. Supposons que, les côtés AB, BC, CD restant constants en grandeur, le rayon du cercle augmente progressivement de longueur; pour préciser davantage, supposons BC fixe : la circonférence ne cessera de passer par les points fixes B et C, et les côtés invariables AB, CD tourneront respectivement autour de ces deux points, de manière à faire avec BC des angles de plus en plus grands. Concevons que le rayon du cercle croisse indéfiniment, ou que son centre s'éloigne indéfiniment de BC : les angles ABC, BCD tendront chacun vers deux droits ; et si l'on marque sur la droite BC prolongée de part et d autre les points À', D' tels que : A'B = AB, CD' = CD, les points A et D se rapprocheront indéfiniment des points A', D' respectivement (Fig. 24 bis). La relation écrite ci-dessus continuera d'avoir lieu entre les trois segments constants AB, BC, CD et les trois segments variables AC, BD, AD, puisque le quadrilatère ABCD est toujours inscrit dans un cercle proprement dit, c'est-à-dire de rayon fini et déterminé. Or, quand ce rayon devient infiniment grand, les points mobiles A et D sont infiniment voisins -des points fixes A', D'; donc les segments

1. Ce mot signifie ici que les sommets se succèdent sur la circonférence dans l'ordre : A, B, C, D.

variables AD, AC, BD diffèrent infiniment peu des segments constants A'D\ A'C, BD'; quant aux segments mobiles AB, CD, ils sont rigoureusement égaux aux segments fixes A'B, CD'qui sont eu ligne droite avec BC. La relation (inconnue) qui existe entre les six segments déterminés sur cette droite par les points A', B, C, D' doit, en vertu du principe de continuité *, différer infiniment peu de la relation qui existe entre les côtés et les diagouales du quadrilatère inscrit ; on doit donc avoir l'égalité :

A'C . BD' = A'B . CD' -f- A'D' . BC -4- e,

e étant un nombre infiniment petit (c'est-à-dire une quantité variable ou arbitraire tendant vers zéro). Or, dans cette relation, tous les termes sont constants, excepté e; les deux quantités :

A'C . BD' et A'B . CD' -4- A'D'. BC

sont invariables. D'autre part, leur différence e peut être rendue plus petite que toute quantité donnée ; donc (par un théorème connu ') elle est rigoureusement nulle. Par suite les deux quantités constantes sont rigoureusement égales, et l'on peut écrire exactement :

A'C. BD' = A'B. CD' -f- A'D'. BC.

Ainsi la même relation qui existait entre les côtés et les diagonales du quadrilatère inscrit est encore vraie quand, le rayon du cercle étant devenu infini, la circonférence se confond avec une droite sur laquelle le quadrilatère s'aplatit. On démontre d'ailleurs directement (et même par une double voie, analytique et géométrique) cette relation pour quatre points quelconques situés en ligne droite, sans recourir à aucune considération d'infini ou de continuité. On vérifie par là la déduction précédente, fondée sur le principe de continuité et sur l'hypothèse du rayon absolument infini, ce qui prouve la légitimité de celle-ci. On voit comment l'infini peut servir à découvrir et même à démontrer des relations entre les grandeurs finies, grâce à la continuité géométrique, qui permet de « passer à la limite », et en particulier de conclure de l'indéfini à l'infini *.

1. Nous invoquons ici le principe de continuité pour abréger; mais il serait facile de démontrer directement que, dans l'égalité suivante, e devient infiniment petit quand le rayon du cercle devient infiniment grand.

2. J. Taxxery, op. cit., § 6. Cf. Carmot, Métaphysique du Calcul infinitésimal, n0- 24 et 23; voir aussi n° 120.

3. Ce qui justifie en général ce « passage à la limite -, c'est que, comme le montre l'exemple précédent, la môme relation qui existe entre plusieurs gran-

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9. Cet exemple fait bien ressortir le caractère essentiel et original du principe de continuité, qui en fait la portée et la fécondité. Ce principe n'est pas analytique, mais synthétique ; ce n'est pas un axiome logique, mais un postulat rationnel. Il n'y aurait aucune contradiction à soutenir que la relation précédente est vraie dans un cercle aussi grand qu'on voudra, mais non sur la droite; car, si voisine que la circonférence puisse être de la droite qui en est la limite, les deux figures

Fig. 24.

Fig. 21 bi$.

(ABCD, A'BCD') sont toujours distinctes, et dès lors ce n'est pas de la même qu'on affirme et qu'on nie à la fois la même propriété *. On peut donc logiquement, c'est-à-dire sans violer le principe de contradiction, refuser de passer d'un cas à l'autre, de l'infiniment petit à zéro, de l'infiniment grand à l'infini. Mais cela serait néanmoins absurde, au point de vue rationnel, car ce serait admettre un hiatus

entre les propriétés de deux figures infiniment voisines : il faudrait que, pour un changement infiniment petit de la figure mobile, une des grandeurs variables (AC, BD, AD), au lieu d'atteindre sa limite infiniment rapprochée, changeât brusquement de valeur, et que la nouvelle valeur différât de la précédente d'une quantité finie : de

deurs variables subsiste entre leurs limites fixes, quand leurs variations sont continues (car alors elles atteignent en effet leurs limites respectives [i, 4]). C'est là un autre énoncé du principe de continuité de Leibmtz. [Cf. Note II, 7.] 1. Cf. Aristote, Métaphysique, \\ 3, 1005 6 19-20.

270 LIV. IV. — l'infini mathématique

sorte que la relation considérée cesserait d'être encore vraie « à la limite ». La raison se refuse à admettre la discontinuité au sein de la grandeur, car ce serait y admettre le caprice, le miracle ou le hasard; et si la nature ne fait jamais de sauts, c'est parce que de tels sauts répugnent à la raison. 11 y a donc des propositions qui peuvent être absurdes sans être contradictoires ', et la contradiction n'est pas le seul vice qui choque la raison. Partant, le principe de contradiction n'est pas le seul critérium de la vérité : il n'en est qu'un critérium négatif," et conséquemment stérile. Le principe de continuité, au contraire, est une loi positive et féconde de la pensée; il n'infère pas du même au même, ni du général au particulier, mais il transporte la vérité de proche en proche, du connu à l'inconnu, et l'étend ainsi du particulier au général. Leibnitz n'avait donc pas tort de faire reposer les Mathématiques mêmes sur des principes métaphysiques : car c'est peut-être au principe de continuité que la Géométrie moderne doit ses progrès immenses, et ses plus puissantes méthodes de généralisation.

10. Nous avons déjà signalé à plusieurs reprises l'analogie remarquable des nombres imaginaires et du nombre infini, des points imaginaires et des points à l'infini [3, 7; cf. i, 14; n, 9]. Il y a plus : les éléments à l'infini peuvent, eux aussi, devenir imaginaires, sans cesser de faire partie intégrante des figures géométriques; au contraire, ils continuent à ûgurer parmi leurs propriétés essentielles, et peuvent servir à les caractériser. C'est ainsi que Chasles déduit immédiatement, de la définition purement projective des ovales de Descartes *, que ces courbes « ont toujours deux points imaginaires conjugués à l'infini; ce que l'on ne verrait peut-être pas par d'autres voies », ajoute l'illustre géomètre : « car on a négligé jusqu'à présent, dans la recherche des points singuliers des courbes, les solutions imaginaires, et aussi les points situés à l'infini, lesquels échappent souvent à l'Analyse. Les uns et les autres, cependant, font partie des affections particulières des courbes, et doivent jouer un rôle important dans leur théorie. »

Pour comprendre ce passage de Chasles, il faut savoir que tous les

1. Cf. M. Rbxouvibr, la Philosophie de la règle et du compas, § xu, ap. Année philosophique, 1891, p. 42.

2. Les ovales de Descartes, ou lignes aplané tiques, sont la projection stéréographique de la ligne de pénétration d'une sphère par un cône de révolution, l'œil étant placé à l'extrémité du diamètre parallèle à Taxe du cône (d'après QctTELET, cité ap. Aperçu historique, Note XXI).

cercles du plan ont en commun deux points imaginaires conjugués sur la droite de l'infini, qu'on nomme points circulaires à [infini '; cette propriété singulière suffit à caractériser les cercles, qu'on peut définir : des coniques passant par les points circulaires à l'infini. C'est même ce qui explique qu'un cercle soit complètement déterminé par trois points, alors que pour déterminer une conique quelconque il faut en général cinq points donnés : en effet, les deux points circulaires à l'infini, joints aux trois points donnés, achèvent de déterminer le cercle. On voit par cet exemple la généralité et la symétrie que confère aux propositions de Géométrie la considération régulière des points imaginaires ou des points à l'infini, ou même des points imaginaires à l'infini.

Sans doute, la plupart de ces propriétés où figurent des éléments imaginaires ou situés à l'infini ont été découvertes par le calcul; mais nous avons souligné plus haut la phrase où Chasles affirme que (de son temps du moins; de telles propriétés échappaient souvent à l'Analyse. En tout cas, lors même qu'elles n'apparaîtraient que dans les formules analytiques et s'introduiraient par là dans la Géométrie synthétique, ces propriétés sont, le plus souvent, susceptibles de démonstrations purement géométriques, et si l'on préfère (malgré l'exemple du grand géomètre dont nous nous inspirons ici) les démontrer par l'Algèbre, c'est sans doute à cause du préjugé signalé plus haut [h, 1] et de la routine qu'engendre l'habitude du calcul; c'est peut-être aussi parce que le calcul demande moins d'effort d'invention que la synthèse, et qu'il mène au but à coup sûr. Quoi qu'il en soit, on retrouve presque toujours par la synthèse les propriétés découvertes et démontrées par l'Analyse, et souvent d'une manière plus directe, sous une forme plus claire, plus simple et plus élégante, comme le prouvent une foule de démonstrations purement synthétiques de Chasles lui-même \

11. Le même auteur dit encore : « L'abbé de Gua... fit voir, le premier, par les principes de la perspective, que plusieurs des points singuliers d'une courbe peuvent se trouver à l'infini : ce qui lui donna l'explication a priori d'une analogie singulière entre les différentes espèces de points et les différentes espèces de branches

1. Cf. Briot et Bouquet, Géométrie analytique, n° 330. Voir uoe définition purement projective de ces points ap. Staudt, Beitrâge zur Géométrie der Lagef Erstes lien, Anhang, n" 190-195.

2. Voir notamment : Aperçu historique, Notes IX, X, XV, XVI, XX et XXXI.

272 liv. iv. — l'infini mathématique

infinies (hyperboliques ou paraboliques) que peuvent présenter les courbes; analogie à laquelle le calcul l'avait déjà conduit *. »

Pour donner un exemple de cette méthode intuitive, nous citerons seulement les deux propositions suivantes, qui peuvent servir de définitions respectivement à la parabole et à l'hyperbole :

« L'hyperbole est une conique coupée par la droite de l'infini en deux points réels. »

« La parabole est une conique tangente à la droite de l'infini *. »

Ces deux théorèmes sont démontrés, dans l'Ouvrage auquel nous les empruntons, au moyen des équations des courbes en coordonnées homogènes et de considérations algébriques. Nous allons montrer que tout cet appareil de formules est inutile, et faire voir les propriétés énoncées sans le moindre calcul. Il en résultera que ces propriétés ne dépendent nullement de la Géométrie analytique ni de l'Algèbre, et qu'elles peuvent s'établir très simplement par la Géométrie projective 8, par la synthèse pure.

On sait que toutes les courbes du second ordre peuvent être considérées comme des sections planes d'un cône à base circulaire; c'est pour cela qu'on les appelle sections coniques. Cela revient & dire qu'on peut les obtenir toutes par la projection centrale d'un cercle sur un plan, ou, plus simplement encore, comme perspectives d'un cercle. D'autre part, dans la projection centrale d'un plan P sur un autre plan Q (le centre étant le point 0), les projections des points à l'infini dans P se trouvent toutes sur l'intersection du plan Q par un plan R mené par 0 parallèlement au plan P : en effet, ce plan R, étant parallèle à P, contient (par définition) tous les points à l'infini du plan P, et ceux-là seulement. Or l'intersection de deux plans est une ligne droite : appelons D l'intersection des plans Q et R : cette droite sera l'ensemble des projections des points à l'infini du plan P, et c'est même pour cela qu'çn dit que ces points à l'infini forment une seule ligne droite, dite droite de l'infini (dans P), car en générai la projection d'une droite est une droite, et réciproquement toute droite est la projection d'une droite. Ainsi la droite D (située, en général, dans le fini du plan Q) est Y image ou la perspective de la droite à l'infini du plan P. Inversement, si l'on projetait, du centre 0,