Cf. Staudt, Géométrie der Lage, § 19, n

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Cil. III. — JUSTIFICATION DE L INFINI NUMÉRIQUE

le plan Q sur le plan P, la droite à l'infini dans P serait l'image ou la perspective de la droite D du plan Q.

Cela posé, soit un cercle C coupé par une sécante DD' ; projetonsle du centre 0 sur le plan P, de manière à envoyer la sécante à Tinfini : pour cela, il suffit de placer DD' dans le plan R parallèle au plan de projection P et passant par le centre de projection 0 (Fig. 25).

Fig. -25.

Le cône projetant coupera le plan P suivant une hyperbole, qui sera la projection ou perspective du cercle C '. Les tangentes au cercle aux points D et D' se projetteront suivant SX, SY parallèles aux droites OD, OD': SX, SY seront les asymptotes de l'hyperbole. Les deux branches de l'hyperbole correspondent respectivement aux deux arcs de cercle que sépare la sécante DD' : on peut donc dire qu'elles se rejoignent à l'infini suivant SX et SX', SY et SY'. L'hyperbole complète, image de la circonférence fermée, traverse ainsi la droite de l'infini en deux points, qui sont les points à l'infini sur SX, SY (projections

1. Cette construction et la suivante (/?</. 23 et 26) peuvent servir de commentaire a un passage de Leibmtz {Thêodicée, Discours de la conformité de la foi avec la raison, n° 64, fin).

des points D etD'). Par conséquent elle a pour sécante la droite de l'infini, comme nous l'avons annoncé.

On voit en même temps qu'il est rigoureusement exact de dire que les asymptotes de l'hyperbole sont ses tangentes à l'infini : en effet, chacune d'elles est la projection d'une des tangentes DE, D'E', et (comme la propriété de tangence se conserve par projection, ou est, comme on dit, projective) est tangente à l'hyperbole au point qui correspond au point D ou D', c'est-à-dire en l'un des deux points qui sont à l'infini sur la courbe, ou encore, en l'un des points d'intersection de l'hyperbole avec la droite de l'infini. Ainsi cette propriété des asymptotes, d'être tangentes à la courbe à l'infini, ne sert pas seulement à les déterminer par le calcul au moyen des formules générales qui expriment les tangentes en Géométrie analytique; elle permet de les définir et de les construire dune manière purement géométrique.

Fig. 26.

12. La relation de la parabole avec la droite de l'infini se met tout aussi aisément en évidence. Considérons un cercle C et une droite D tangente à ce cercle, et projetons cette figure du centre 0 sur le plan P, de telle sorte que la tangente s'en aille à l'infini; il suffit pour cela de disposer la droite D dans le plan R mené par 0 parallèlement au plan de projection P (Fig. 26). Le plan R sera alors tangent au cône projetant, et par suite la section de ce cône par le plan P (parallèle au plan R) sera une parabole : cette parabole sera la projection ou perspective du cercle C. Soit T le point de contact de ce cercle et de sa tangente D; la parabole aura un point à l'infini, à savoir la projection du point T. Mais, comme tout point de

CU. III. — JUSTIFICATION DE i/lNFIM NUMÉRIQUE 275

contact d'une courbe avec une droite représente deux points confondus, on peut dire que Ja parabole a deux points à l'infini, mais que ces deux points coïncident. Or c'est dire qu'elle a deux points confondus communs avec la droite de l'infini, et par conséquent qu'elle a pour tangente la droite de l'infini. Ainsi s'explique en même temps ce fait que la parabole n'a pas d'asymptotes : c'est que sa tangente à l'infini n'est autre que la droite de l'infini *.

On conçoit sans peine que toutes les autres courbes, d'ordre quelconque, puissent avoir des points à l'infini. Nous avons dit [i, 14] qu'une courbe d'ordre n a n points (réels ou imaginaires) communs avec une droite quelconque de son plan : donc, en particulier, elle a n points, réels ou imaginaires, à l'infini. Une courbe aura la droite de l'infini pour sécante si les n points qu'elle a sur cette droite sont distincts; elle aura la droite de l'infini pour tangente si deux des points qui lui sont communs avec celte droite coïncident et se confondent en un seul. On comprend dès lors qu'il y ait lieu de distinguer les branches infinies des courbes en hyperboliques et paraboliques, suivant les deux cas que nous venons d'indiquer, c'est-à-dire suivant leur relation géométrique avec la droite de l'infini. Ce qui précède suffit à faire pressentir l'importance singulière des éléments à l'infini dans l'étude projective des courbes, puisque la forme de celles-ci et leurs propriétés essentielles dépendent de la manière différente dont elles se comportent à l'infini.

Ces exemples suffisent à prouver qu'on peut étudier les éléments à l'infini et leurs relations par la Géométrie pure, sans recourir à aucun système de coordonnées (homogènes ou autres) ni à aucune représentation analytique ; et même simplement par la Géométrie projective, c'est-à-dire sans envisager les relations entre les grandeurs (longueurs, angles, distances, etc.), mais en considérant seulement les rapports de situation des figures. Nous croyons donc pouvoir affirmer qu'il existe, en Géométrie, un infini de position tout à fait indépendant de l'infini de grandeur et de l'infini numérique, et que c'est, au contraire, pour le représenter qu'on est obligé de concevoir un état de grandeur infini et un nombre infini.

1. Pour être complet, il faudrait ajouter que l'ellipse est une conique qui rencontre la droite de l'infini en deux points imaginaires, ce qui résulte de cette autre proposition : Tout cercle a avec une droite extérieure dans son plan deux points d'intersection imaginaires. Il suffirait de projeter la ligure formée par le cercle et la droite extérieure de manière à envoyer celle-ci à l'infini : on montrerait que la projection du cercle est une ellipse.

276 LIV. IV. — l'infini mathématique

Appendice. — On pourrait encore nous objecter que les relations projectives où figure l'infini de situation se traduisent par des égalités de rapports anharmoniques; or tout rapport anharmonique renferme des grandeurs (longueurs ou lignes trigonométriques) représentées par des nombres, de sorte que les relations projectives sont, au fond, des relations analytiques déguisées. L'infini numérique s'y introduit nécessairement, comme dans tout autre système de coordonnées, et, par lui, l'infini géométrique; c'est donc toujours, en dernière analyse, l'infini numérique qui engendrerait, d'une façon détournée, l'infini de grandeur et de position.

A celte objection très spécieuse et très forte, nous répondrons que si les relations projectives correspondent en effet à des relations métriques, elles n'en sont nullement issues, et ne s'y réduisent pas nécessairement. Au contraire, elles sont, en principe et par essence, indépendantes de toute idée de grandeur, et peuvent se définir entièrement par la seule considération des rapports de situation (des alignements, par exemple). C'est ainsi que nous avons pu définir la relation projective de deux lignes droites homographiques en les mettant en perspective (Fi g. 22) sans faire appel à la relation métrique (équation 1) entre les abscisses des points homologues; tout au rebours, c'est cette dernière qui peut se déduire de la première, et qui parait en être la traduction analytique.

D'autre part, s'il est vrai que la constance du rapport anharmonique est le fondement de toute relation projective, la loi universelle et unique de toute transformation par homographie ou par dualité, on sait que ce rapport est lui-même susceptible d'une définition purement projective, dégagée de toute notion d'angle ou de distance S de sorte que la Géométrie de position peut se constituer exclusivement avec ses propres ressources, et n'emprunte rien à la Géométrie métrique. C'est bien plutôt celle-ci qui rentre dans la Géométrie projective à titre de cas particulier, quand on a défini la distance de deux points et V angle de deux droites ou de deux plans par des rapports anharmoniques où figurent, précisément, des éléments imaginaires et des éléments a l'infini, dont l'existence a été établie en dehors de toute considération de grandeur '.

1. Cf. Staudt, Géométrie dev Loge, §§ 8, 9, 10; 16, 17. Beitrâge zur Géométrie der Laqe, ?§ 1, 9; 19f 20, 21; 27, 28, 29. — Lurotii : Das Imayinâre in der Géométrie und das Hechnen mit Wùrfen, ap. Matkematiscke Annalen, t. VIII et XI.

2. V. Clerscii, Leçons de Géométrie, t. I,chap. u, § vu. Klein, Veber die sogenannte Sicht-Euklidische Géométrie, ap. Mathematische Annalen, t. IV, VI, VII.

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