CHAPITRE IV

l'infini analytique corrélation de zéro et de l'infini

1. Ainsi Tintroduction dans la Géomélrie pure des éléments situés à l'infini n'est pas une simple convention de langage: elle exprime ou révèle des analogies réelles et profondes entre les propriétés des éléments situés à l'infini et celles des éléments situés dans le fini; et c'est précisément parce que les propriétés projectives des figures ne dépendent pas de leur grandeur ni de leurs proportions, que les mêmes relations qui existent entre des éléments situés dans le fini (à distance finie les uns des autres) continuent d'avoir lieu quand certains éléments s'en vont à l'infini. Mais, comme ces relations projectives peuvent se traduire en relations métriques, comme les changements de position relative des figures impliquent des modifications correspondantes dans les rapports des grandeurs, il est naturel et nécessaire d'introduire dans la Géomélrie métrique des grandeurs infinies (des distances infinies, par exemple) pour représenter les rapports de situation des éléments à l'infini de la Géométrie projeclive. Enfin, puisqu'il est commode d'exprimer les grandeurs géométriques par des nombres, afin de les soumettre au calcul et pour pouvoir ramener les combinaisons géométriques de grandeurs à des opérations arithmétiques, il convient d'introduire dans l'Analyse le nombre infini, qui doit correspondre à l'état d'une grandeur infinie; et de même que les règles du calcul des nombres réels et complexes dérivent des règles suivant lesquelles on combine les grandeurs géométriques (vecteurs), et n'en sont que la traduction, c'est par l'infini géométrique que doivent se justifier les opérations auxquelles on soumet le nombre infini, et le rôle qu'on attribue à ce nombre dans les calculs. Remarquons tout de suite que, si les

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opérations qu'on effectue sur les nombres complexes peuvent se définir et se concevoir d'une façon toute abstraite et purement arithmétique, et paraissent ainsi dégagées de leur origine concrète et géométrique, de môme, les règles du calcul de l'infini sont, en apparence, indépendantes de toute considération étrangère à l'Arithmétique, et ne gardent aucune trace des faits géométriques qui en sont la source et la raison d'être; c'est pour cela qu'il est si facile de se tromper sur leur signification et leur portée véritables, et que les analystes sont si souvent tentés d'attribuer à l'infini une valeur numérique abstraite qui ne devrait rien, non seulement à l'intuition, mais à l'idée même de la continuité.

2. C'est ainsi, par exemple, que la fraction -rr, qui n'a pas, dit-on,

de sens arithmétique, et dont le sens n'apparaît que grâce à des considérations de continuité [voir i, 3] devient, par convention, le symbole de l'infini, de telle sorte que, sans avoir égard à l'espèce de grandeur représentée par les nombres m et 0, on dit couramment que le rapport de m à 0, ou que le quotient de m par 0 est infini; de même que, sans savoir à quelles grandeurs correspondent les nombres finis m et n, on dit que le rapport de m à n, ou que le quo-

tient de m par n est la fraction — . Néanmoins, l'une et l'autre proposition, malgré leur forme abstraite et purement arithmétique, n'ont de sens que comme traduction de certaines combinaisons de grandeurs concrètes, et les formules

m : 0 = oo , m : n = —

ne sont valables que si elles s'appliquent à des grandeurs continues;

ce qui n'empêche pas de déduire les règles du calcul des fractions

de deux ou trois conventions fondamentales, sans s'inquiéter des

grandeurs qui doivent correspondre aux résultats de ces calculs. En

effet, si ces conventions sont appropriées à la nature de certaines

grandeurs, toutes les formules qui en résultent s'appliqueront à

celte espèce de grandeurs; de sorte qu'on n'a plus qu'à tirer analyti-

quement toutes les conséquences des conventions une fois posées,

sans s'occuper de leur sens concret, parce qu'on sait bien que les

conclusions vaudront dans les cas et dans la mesure où valent les

prémisses.

De même, la formule

m : ce = 0,

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Cil. IV. — L INFINI ANALYTIQUE 279

corrélative de la précédente, n'a de sens, avons-nous vu [u, 9], qu'appliquée à des grandeurs continues qui peuvent atteindre toute valeur-limite, et en particulier devenir rigoureusement infinies. Cependant, une fois établie par la considération de la continuité, cette formule s'emploie d'une manière abstraite, comme une formule purement numérique. On remarque même qu'elle peut se déduire de la formule inverse ou réciproque

m : 0 = oo ,

suivant les règles du calcul des fractions ordinaires; dès lors, on ne se fera plus scrupule d'appliquer ces règles au nombre infini, de diviser par exemple un nombre fini par ce nombre et d'égaler le quotient à. zéro. On appliquera donc ces deux formules machinalement dans les calculs algébriques, sans se soucier de savoir ce qu'elles représentent; mais si les résultats ainsi obtenus continuent d'être vrais et valables, ce n'est pas que les formules en question aient par elles-mêmes et primitivement un sens numérique, mais c'est parce qu'elles ont, du moins virtuellement et à l'origine, un sens géométrique qui les rend applicables à toute grandeur continue.

Au reste, cela est vrai de toutes les formules numériques et de toute espèce de nombres; seulement, ce qui passe inaperçu quand il s'agit d'un nombre quelconque devient saillant et saisissant lorsqu'on envisage le nombre infini : et c'est pourquoi la considération de ce nombre est très utile h la philosophie de l'Arithmétique, et très propre à dissiper les illusions ou les confusions que l'habitude et la routine inconsciente engendrent au sujet des autres nombres. La fraction, par exemple, est conçue d'abord à l'occasion d'une grandeur divisible, dont les combinaisons concrètes expliquent les règles du calcul des fractions; puis, une fois ce nouveau nombre créé et ces règles établies, on s'affranchit de la considération des grandeurs pour définir analytiquement cette espèce de nombres et les opérations qu'on lui fait subir. De même, le nombre infini, qui n'est à l'origine que le signe ou le symbole d'une grandeur infinie, et ne figure que dans des formules « symboliques » exprimant des combinaisons de grandeurs, arrive à se détacher de la grandeur continue qu'il représente, et finit par jouer un rôle purement analytique, comme s'il avait par lui-même un sens et une valeur. En réalité, il n'en a ni plus ni moins que le nombre entier»

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qui, lui aussi, tiré par abstraction de la considération des collections concrètes, s'est constitué d'une manière indépendante, en même temps que la notion de l'addition s'est dégagée des combinaisons par lesquelles on ajoute des objets les uns aux autres. Voilà pourquoi il était nécessaire d'exposer dans son ensemble et dans ses étapes successives la généralisation du nombre, afin de montrer que le nombre infini est une extension de l'ensemble des nombres entiers aussi naturelle et aussi bien fondée que toutes les autres espèces de nombres, qu'elle soulève les mêmes difficultés et qu'elle comporte la même justification.

3. Une fois ces remarques faites, et l'origine géométrique du nombre infini bien établie, on peut séparer ce nombre des grandeurs qui lui ont donné naissance, comme on a fait pour tous les autres nombres, et le considérer à part et en soi, comme symbole d'un état de grandeur d'une espèce quelconque et indéterminée. Ainsi envisagé sous forme de nombre abstrait, on peut dire qu'il complète l'ensemble des nombres complexes, ainsi que tous les ensembles plus restreints qui sont contenus dans cet ensemble, le plus général de ceux que nous ayons étudiés. En effet, dans tous ces ensembles, le nombre infini est corrélatif du nombre zéro, et lui fait en quelque sorte pendant. Nous avons maintes fois, au cours de cet Ouvrage, fait remarquer l'analogie et la symétrie de zéro et de l'infini; elles peuvent se résumer en deux mots : Yinfini est l'inverse de zéro, et zéro l'inverse de Yinfini *. La considération de cette analogie est donc éminemment propre à justifier le nombre infini. D'ailleurs, l'idée du zéro, quand on y réfléchit, n'est pas un moindre objet de scandale et de mystère que l'idée de l'infini : peut-être même offret-elle moins de prises à l'intelligence, car une grandeur nulle d'une certaine espèce, c'est-à-dire le néant de grandeur, parait encore moins concevable qu'une grandeur sans bornes de la même espèce. Nous avons cependant fait voir qu'une grandeur géométrique nulle, une longueur nulle, par exemple, était parfaitement intelligible et déterminée5. Mais nous voulons maintenant considérer le zéro et Yinfini à un point de vue abstrait et purement arithmétique. Il convient donc de montrer quel rôle essentiel joue le nombre zéro dans l'Analyse; par là nous aurons indirectement établi la légitimité et la nécessité du nombre infini, qui en est la contre-partie.

1. Cf. II, n, 16-25; IV, I, 4, 5 15; il, 5. 9. 10; el .Noie il, 11, 12.