iv, 5; IV, i

CU. IV. — CORRÉLATION DE ZÉRO ET DE i/lNFINI 281

4. Résumons d'abord l'histoire du nombre zéro dans la généralisation du nombre, et ses diverses attributions. Dans l'ensemble des nombres entiers, le chiffre 0 commence par désigner le néant de nombre, c'est-à-dire l'absence de toute unité; telle est, en particulier, sa signification dans la numération écrite. Mais il peut aussi être considéré comme un nombre entier, car il répond à la question suivante : Combien y a-t-il d'objets dans tel ou tel ensemble? l S'il n'y en a pas, la réponse est : Aucun, ou en langage arithmétique : Zéro. Ainsi ce chiffre, qui n'a d'abord qu'un sens tout « négatif », prend un sens « positif » et joue le rôle d'un nombre entier.

Ce rôle se confirme et se développe dans l'ensemble des nombres entiers qualifiés, qui résulte de la généralisation de la soustraction [II, h, 5]. Le nombre zéro est alors la différence de deux nombres entiers égaux; en particulier, il est égal à 1 — 1, de sorte qu'on obtient nécessairement ce nombre quand on retranche successivement n unités au nombre n : en un mot, il est, comme tout autre nombre entier, le résultat d'une soustraction. 11 occupe une place intermédiaire dans la suite indéfinie des nombres qualifiés :

et même une place centrale, car il sépare les deux suites des nombres positifs et négatifs, dont il est le point de départ commun; aussi peut-il être, suivant le cas, considéré comme positif ou négatif, et c'est pourquoi on l'appelle nombre neutre. Il constitue donc dans l'ensemble des nombres entiers qualifiés un échelon indispensable, par lequel on est obligé de passer, et il a la même « réalité » que tout autre nombre positif ou négatif.

La création des nombres fractionnaires n'ajoute rien aux propriétés du nombre zéro, si ce n'est qu'il est égal à toute fraction de numérateur nul; mais elle conduit à considérer aussi les fractions de dénominateur nul, et à concevoir, sinon à introduire, le nombre infini comme V inverse de zéro [II, u, 16 sqq.].

L'invention des nombres irrationnels ne change rien non plus à la notion du zéro. Seulement, comme tout autre nombre rationnel, il peut être conçu comme le symbole d'une coupure de l'ensemble des nombres rationnels, et par suite, comme la limite supérieure de l'ensemble des nombres négatifs et comme la limite inférieure de

1. Par exemple : Combien y a-t-il de personnes au salon? Combien y a-t-il de pièces dans ma bourse? etc.

l'ensemble des nombres positifs (ou arithmétiques). De plus, il est la

limite des inverses des nombres entiers consécutifs, c'est-à-dire des

fractions de la forme- ( n = 1, 2, 3, ) Conséquemment, son

inverse l'infini peut être regardé comme la limite des nombres

entiers croissants : 1, 2, 3,... n, de sorte que, si Ton introduit

dans l'ensemble des nombres arithmétiques sa limite inférieure zéro, il n'y a pas de raison pour ne pas y admettre aussi sa limite supérieure, Yinfini *.

Enfin, dans l'ensemble des nombres complexes, le zéro occupe la même position centrale que dans l'ensemble des nombres réels; c'est par rapport à lui que les nombres sont dits symétriques, car, dans le plan qui représente cet ensemble, les points qui correspondent à deux nombres symétriques sont symétriques par rapport au point 0. Or ce point 0 est un point quelconque du plan, car, d'une part, l'axe des quantités réelles est une droite quelconque du plan, et d'autre part, le point 0 est pris à volonté sur cette droite. On peut donc prendre tel point qu'on veut pour origine, et par suite faire correspondre le nombre zéro à tout point donné dans le fini du plan. En d'autres termes, étant donne un plan indéfini qui devra représenter l'ensemble des nombres complexes, on peut, en vertu de l'homogénéité géométrique qui rend tous ses points indiscernables, choisir un point quelconque pour représenter le nombre zéro, et une droite quelconque passant par ce point pour représenter l'ensemble des nombres réels. A cet égard, le point n'est pas, comme le disaient les Pythagoriens, Y unité posée *, mais bien plutôt le zéro posé : car le premier point qu'on pose dans le plan devra figurer zéro. Pour déterminer l'unité, il faut poser un second point, qui figurera le nombre 1 3; ces deux points suffisent à déterminer l'axe des quantités réelles, et la répartition des nombres réels sur cette droite; ils déterminent en même temps l'axe des quantités purement imaginaires (perpendiculaire au premier au point 0) et sa subdivision rationnelle. Par conséquent, deux points sont nécessaires et suffisants pour fixer la répartition des nombres sur le plan, ou, comme nous avons dit, Yapplication au plan de l'ensemble des nombres complexes [cf. III, m, 11 sqq.].

1. Pour la définition des limites supérieure et inférieure, voir Note II, 12.