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5. Cela nous amène à définir le rôle du nombre zéro dans l'Analyse, rôle dont l'importance contraste si fort avec l'insignifiance apparente de ce symbole numérique. Gomme ce nombre peut correspondre à un point quelconque du plan, c'est-à-dire h un élément ou à un état de grandeur quelconque, il est l'état de grandeur type auquel on ramène toutes les grandeurs, et le point de repère auquel on rapporte tous les éléments de la grandeur. On sait que le plan représente le champ de variation des variables complexes qu'étudie l'Analyse, de sorte qu'un point de ce plan figure géométriquement une valeur de la variable qui est censée parcourir ce plan. Quand on veut étudier la marche d'une fonction au voisinage d'une valeur de la variable, c'est-à-dire d'un point, il est naturel et commode de prendre ce point pour origine, et par suite d'annuler la valeur correspondante, autrement dit d'égaler à zéro les coordonnées x et y de ce point. En effet, pour ces valeurs particulières la fonction prend en général une forme plus simple, ce qui s'explique par la suppression des termes où x et y figurent en facteurs et qui s'annulent alors. En tout cas, la fonction prend une valeur numérique déterminée, au lieu de se présenter sous la forme, algébriquement déterminée, mais numériquement indéterminée, qu'elle possède tant que les variables indépendantes x et y restent elles-mêmes indéterminées, et peuvent indifféremment être remplacées par des nombres quelconques.

De même que la variable réelle ou complexe, la l'onction, elle aussi, est en général rapportée au zéro. Quand on veut chercher dans quels cas et à quelles conditions une fonction prend telle valeur donnée, le plus simple est de prendre cette valeur égale à zéro; géométriquement, cela revient à dire que, pour savoir si une courbe (la courbe représentative de la fonction) passe par tel point donné, il convient de prendre ce point pour origine, en y transportant les axes par un changement de coordonnées. C'est pourquoi zéro est le second membre obligatoire de toutes les équations : c'est la valeur fixe à laquelle on compare la valeur muable du premier membre, qui est une fonction algébrique de l'inconnue. D'autre part, si l'on étudie la fonction au voisinage d'une valeur particulière de la variable, on peut toujours s'arranger, comme nous venons de le dire, pour que celte valeur soit zéroy et, en même temps, pour que la fonction s'annule pour cette valeur (en ce point). C'est ce qu'on fait notamment dans la recherche des maxima et des minima, afin de réduire variable et fonction à leur plus simple expression, et à leur forme la

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plus précise. Un lecteur peu familier avec l'Analyse serait tenté de croire, en voyant sans cesse annuler, soit la variable, soit la fonction, soit même Tune et l'autre à la fois, que les relations analytiques vont cesser d'exister et se perdre dans le néant : tout au contraire, cette méthode est propre à. déterminer avec exactitude les propriétés et Y « allure » des fonctions.

On peut d'ailleurs se rendre compte, par un exemple familier, de la différence du zéro analytique et du zéro arithmétique, et comprendre que le premier a une tout autre valeur que le second. Le zéro de l'échelle thermomélrique n'indique pas plus l'absence de chaleur que l'absence de froid, quoi qu'en pense le vulgaire, qui s'imagine volontiers (après Aristotë, il est vrai) que le chaud et le froid sont deux qualités contraires spécifiquement distinctes, irréductibles l'une à l'autre, que Ton mesure à partir d'une origine commune en deux sens opposés, en comptant des « degrés de chaleur » et des « degrés de froid ». Zéro marque simplement un point fixe choisi par convention pour origine de l'échelle des températures, c'est-à-dire un état déterminé de la grandeur à représenter en nombres. Ce qui montre bien que celte origine est arbitraire, c'est que le zéro centigrade ou Réaumur correspond à 37 degrés Fahrenheit, et que le zéro absolu de la Thermodynamique est à — 273 degrés centigrades (ce zéro n'est d'ailleurs pas plus absolu que celui de la glace fondante.) En un mot, zéro marque une température comme une autre, un certain degré de chaleur (ou de froid, comme on voudra). Aussi, tandis qu'on ne dit pas : <» J'ai zéro centime dans ma bourse », ou dit qu'un thermomètre marque zéro degré, et non pas qu'il ne marque aucun degré, ce qui prouve bien que zéro est un degré aussi « réel », aussi « positif » que les autres, et qu'il serait absurde de considérer une température quelconque, celle de la glace fondante ou une autre, comme nulle. Ainsi le zéro de l'échelle thermométrique, qui n'est en somme que l'origine d'une division linéaire analogue à celle que nous avons décrite [III, n], n'est plus, comme le zéro de l'Arithmétique élémentaire, la négation du nombre et le symbole du néant, mais un nombre véritable ayant la même valeur concrète que les autres, et correspondant, comme eux, à un état de grandeur « réel » et bien défini. En résumé, le zéro de l'Analyse n'est pas le néant de grandeur, mais au contraire tout état de grandeur déterminé qu'il plait de prendre pour type ou pour point de repère; géométriquement, il marque un point quelconque du plan, choisi à volonté pour origine.

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6. L'infini n'a pas moins d'importance que le zéro dans l'étude analytique des fonctions. On sait [v. III, ni, 12, 13] qu'une variable complexe z= x -\- iy est figurée par un point (r, y) mobile dans le plan des xy. De même, une fonction complexe de celte variable, soit

Z = X + îY,

sera figurée par le point (X,Y) mobile dans le plan des XY, différent du précédent, chacun des deux pians représentant le champ d'évolution d'une des deux variables, indépendante ou dépendante. Une fonction complexe d'une variable complexe établit ainsi une correspondance analytique entre un ensemble de points du plan des 37/ et un ensemble de points du plan des XY. Cela posé, il peut arriver que pour une valeur infinie de la variable la fonction devienne aussi infinie : c'est le cas pour les fonctions entières, algébriques ou transcendantes [v. II, iv, 4 note, 10]. Mais il peut se faire aussi que, pour telle valeur finie de s, la fonction Z devienne infinie, ou qu'inversement, quand z devient infinie, la fonction Z prenne une ou plusieurs valeurs finies. Dans ce cas, qui est le plus fréquent, à un point situé dans le fini d'un des deux plans correspond un point à l'infini dans l'autre plan. Or, si l'on peut toujours transporter l'origine en un point quelconque situé dans le fini du plan, pour étudier plus aisément la marche de la fonction au voisinage de ce point, cela n'est plus possible quand le point en question se trouve à l'infini, non pas parce que ce point n'existe pas réellement et échappe par suite à toute détermination géométrique, mais parce qu'on ne peut y transporter les axes au moyen des formules ordinaires du changement de coordonnées.

7. On a alors recours à un autre procédé, qui se nomme transformation par rayons vecteurs réciproques. Géométriquement, cette transformation consiste à remplacer chaque point, situé à une distance r de l'origine, par le point situé sur son rayon vecteur à la

distance -. 11 est aisé de voir que cette transformation établit une

correspondance univoque et réciproque entre tous les points de la ligure donnée et tous ceux de la figure transformée (c'est-à-dire obtenue par transformation de la figure donnée;. Analyliquement, cela revient à rapporter le plan à des coordonnées polaires [v. III,

iv, 3], et à remplacer chaque rayon vecteur z par son inverse-, sans

changer l'argument 0. Par cette transformation, le plan des nombres

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complexes se reproduit lui-même entièrement, les couples de points

itués à des distances inverses (r et - j de l'origine sur le même

rayon vecteur ne faisant que permuter, c'est-à-dire échanger leurs positions. Seuls, les points situés sur la circonférence de rayon 1 qui a pour centre l'origine se correspondent à eux-mêmes, et ne changent pas de place. Mais pour que la correspondance du plan transformé au plan primitif soit complète, il faut admettre un point à l'infini comme correspondant au point zéro (origine). En effet, plus un point est éloigné de l'origine, tout en restant à distance finie, plus la transformation le ramène près de l'origine, sans que jamais» il puisse coïncider avec elle. A une valeur infiniment grande, mais

finie, de r, correspond une valeur infiniment petite de -, mais jamais

une valeur nulle. Si donc le plan était simplement indéfini, tous ses points infiniment éloignés deviendraient par la transformation infiniment voisins de l'origine, mais on n'obtiendrait jamais le point précis marqué 0, et ce point manquerait au plan transformé. Celuici ne serait donc pas continu, car il présenterait un « trou » en ce point. Comme d'ailleurs l'origine est arbitraire, le point 0 est un point quelconque du plan, et il n'y a pas de raison pour qu'il fasse défaut plutôt que n'importe quel autre point du plan. Si donc l'on veut conserver au plan transformé sa continuité essentielle, on est obligé d'admettre que le plan primitif a un point à l'infini, qui est le corrélatif de l'origine du plan transformé.

8. C'est ce dont on se rendra compte en voyant la transformation appliquée à une figure particulière. Soit une droite indéfinie XY située dans le plan, mais ne passant pas par l'origine 0 (Fig. 27). Abaissons du point 0 la perpendiculaire OA sur la droite XY; prenons sur OA la longueur OB inverse de la longueur OA : le point B sera le correspondant du point A. Ainsi l'on a par hypothèse

ôâ. OB = i.

Soit C un autre point quelconque de la droite XY ; joignons OC. Abaissons du point B la perpendiculaire BD sur OC : je dis que le point D est le correspondant du point B. En effet, les triangles rectangles OAC, ODB sont semblables; on a donc