OD

Le lieu du point D, pied de la perpendiculaire abaissée du point fixe B sur la droite mobile OC, est le lieu des points d'où Ton voit le segment fixe OB sous un angle droit, c'est-à-dire la circonférence décrite sur OB comme diamètre. Cette circonférence est donc la figure qu'on obtient par la transformation de la droite XY, ou, comme on dit, la transformée de cette droite. Inversement (la transformation étant essentiellement réciproque), la droite XY est la transformée de la circonférence. Ces deux lignes doivent donc se correspondre point par point, les points correspondants étant sur un

même rayon vecteur (en ligne droite avec Je point 0) *. Or, si le point C s'éloigne indéfiniment de A sur XY dans un sens ou dans l'autre, la longueur OC croissant indéfiniment, la longueur OD décroîtra indéfiniment; le point D se rapprochera donc indéfiniment du point 0 sur la circonférence, dans un sens ou dans l'autre. Mais si la droite XY est simplement indéfinie, aux points infiniment éloignés sur cette droite correspondront les points infiniment voisins du point 0 sur la circonférence, sans que jamais le point D coïncide avec le point 0, de sorte que celui-ci ne correspondrait à aucun

4. 11 en résulte qu'on pourrait établir la même correspondance par perspective, l'origine étant prise pour centre de la perspective.

288 liv. IV. — l'infini mathématique

point de la droite indéfinie. Ce serait d'ailleurs le seul sur toute la circonférence qui n'eût pas son corrélatif sur la droite XY : il constituerait ainsi une coupure de la circonférence, et cette courbe, en tant que transformée de la droite XY, ne serait ni fermée ni continue. Or il est peu raisonnable d'admettre que toute la circonférence soit la transformée (ou, en perspective, Y image) de la droite XY, à l'exception du seul point 0, qui est nécessaire pour fermer cette courbe. 11 est donc naturel de compléter la droite indéfinie XY par un point à l'infini, corrélatif du point 0 de la circonférence, de façon que la correspondance entre la droite entière et la circonférence entière soit complète et uniforme. On est d'autant mieux fondé à l'admettre, que toutes les considérations et constructions géométriques qui relient entre eux deux points corrélatifs quelconques C etD subsistent pour le point à l'infini sur XY et le point 0.

Au point de vue métrique, en effet, c'est-à-dire dans la transformation analytique par rayons vecteurs réciproques, la longueur OD ne s'annule que lorsque la longueur OC est devenue rigoureusement infinie, ainsi que la longueur AC. D'ailleurs, comme la position limite du rayon vecteur OC est la droite X'Y' parallèle à XY, on continue à obtenir le point correspondant au point C en abaissant de B une perpendiculaire sur OC, laquelle perpendiculaire coïncide dans •ce cas avec BO, et par suite le point D coïncide avec le point 0.

Au point de vue projectif, d'autre part, c'est-à-dire dans la perspective qui unit les deux figures par rapport au point 0, le point C étant à Vin fini sur les deux droites parallèles XY, X'Y', on peut dire que deux droites parallèles ont toujours un point commun, car elles se rencontrent à l'infini. De plus, puisque, dans le cas général, ïimage du point C est le point D où le rayon vecteur OC coupe la circonférence, dans le cas où OC est parallèle à XY, l'image du point C est le point 0 lui-même. En effet, dans la rotation continue de la sécante OC, le point D se rapproche indéfiniment du point 0, de sorte qu'au moment où OC devient parallèle à XY, le point D vient coïncider avec le point 0. Or, dans cette position, la sécante OC devient tangente au cercle f, car on sait que la droite XT', parallèle à XY, est perpendiculaire au diamètre BO, et conséquemment tangente au cercle. Ainsi se trouve justifiée, pour le cercle, cette

1. Cela résulte immédiatement de la définition générale de la tangence; aussi Ja phrase qui suit est-elle simplement destinée à justifier cette aflirmation au point de vue de la Géométrie élémentaire.

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Cil. IV. — CORRÉLATION DE ZÉRO ET DE L'iNFINI 289

définition générale et essentiellement infinitiste de la tangente à une courbe quelconque : une droite qui a avec la courbe deux points communs confondus en un seul.

En résumé, le point à l'infini sur la droite XY, loin de constituer une exception choquante et de violer les propriétés reconnues aux points à distance finie, vient compléter d'une façon harmonieuse l'ensemble de ces points, et maintenir la continuité des relations établies dans le fini. De même que, si le point 0 manquait à la circonférence, cette courbe présenterait une discontinuité inadmissible, de même, si le point à l'infini manquait à la droite XY, elle pourrait être dite incomplète, sinon discontinue; et si le point 0 est nécessaire pour fermer le cercle, le point à l'infini n'est pas moins indispensable pour relier entre eux les points infiniment éloignés dans les deux sens sur la droite indéfinie, et fermer le cycle qu'ils forment par leur succession continue.

9. Ces considérations géométriques mettent en évidence la corrélation analytique de zéro et de l'infini. La même raison de continuité qui nous force à admettre le nombre zéro comme correspondant à un état de grandeur « réel », puisque ce nombre représente un point quelconque du plan, nous contraint à introduire aussi le nombre infini, comme correspondant à un état de grandeur également « réel », et comme représentant le point à l'infini du plan. On n'a pas plus le droit d'exclure du plan le point à l'infini que le point zéro, c'est-à-dire tel point choisi à volonté dans le fini du plan, car ces deux points sont corrélatifs, en vertu de la transformation précédente; supprimer l'un, ce serait supprimer l'autre, et par suite créer une discontinuité arbitraire dans l'ensemble des nombres complexes figuré par le plan. C'est, en apparence, un paradoxe que de soutenir que le nombre infini sauve la continuité de cet ensemble, et pourtant cela est rigoureusement vrai.

On nous objectera sans doute que le passage par l'infini est considéré en Analyse comme une discontinuité; mais il est facile de voir qu'il ne constitue pas une solution de continuité véritable, comme serait, par exemple, le passage subit d'une valeur finie à une autre. Comparé à cette discontinuité proprement dite, le passage par l'infini apparaît plutôt comme analogue aux cas de continuité : aussi l'on est souvent conduit à exclure cette discontinuité apparente ou fausse des cas de discontinuité véritable, et à considérer une variable comme continue tant qu'elle ne subit pas d'autre disconti-

nuité que le saut de -h oo à — oo '. Et en effet, dans la transformation étudiée plus haut, le passage par Yinfini correspond au passage par zéro, lequel s'effectue d'une manière continue. Si Ton consi-

dère le nombre - quand e passe, comme on dit, du positif au négatif

en s'annulant, on voit qu'il est infiniment grand, positif ou négatif, quand e est infiniment petit, positif ou négatif, et qu'il est proprement infini au moment où e passe par zéro, ou devient nul. Ainsi quand e, en variant d'une manière continue, prend la valeur zéro,

- change brusquement de signe en passant par l'infini, et saute

de -f- oo à — oo . Mais comme, pour des raisons précédemment exposées, il convient de regarder -f- oo et — oo comme une valeur unique, aussi bien que les valeurs + 0 et — 0, auxquelles elles

correspondent, on devra dire que la variable - passe d'une manière

continue par une seule et même valeur, l'infini (oo sans signe), de même que e passe par la valeur unique zéro (0 sans signe) '. Géométriquement, on dira que le point mobile qui figure la

fonction - ~ Z passe par le point à l'infini, en même temps que le

point représentatif de la variable z passe par zéro, c'est-à-dire par l'origine. Il faut même observer à ce propos que le passage de l'infini positif à l'infini négatif, ou inversement, est la marche normale et régulière d'une fonction qui devient infinie; de même qu'en général, une fonction change de signe en passant par zéro 3. Au contraire, le cas où le point qui représente la fonction s'en irait à l'infini dans un certain sens et en reviendrait du même côté, c'est-àdire le cas où la fonction atteindrait la valeur -f- oo , par exemple, en passant par des valeurs positives infiniment grandes, doit être considéré comme exceptionnel : le point à l'infini serait dans ce cas un point singulier pour la fonction (point anguleux, point de rebroussement), de même que, lorsqu'une fonction s'annule sans changer de signe, le point zéro est pour elle un maximum ou un minimum. Ainsi le cas où la fonction, en passant par l'infini sans changer de signe, conserve une sorte de continuité apparente, est en réalité une singularité, sinon une discontinuité; tandis que le cas où la fonction passe de l'infini positif à l'infini négatif ne constitue

4. Voir Note II, 11, Corollaire h. Cf. Stolz, Arithmétique générale, t. II, p. 76.