Dont l'équation est en coordonnées cartésiennes : xy

Fig. 23.

Fig. "28 bis.

L1V. IV. — l'infini mathématique

Fig. ->0.

ment continu sans brusque changement de direction. La seconde a aussi pour transformée une courbe fermée à deux boucles [Fig. 29 éw), mais si un point mobile peut la parcourir d'une manière continue, son mouvement ne sera pas continu en vitesse et en direction, car il devra rebrousser chemin en 0 comme s'il rebondissait sur Taxe des x : le point zéro est donc, pour la fonction figurée par cette courbe, un point de rebroussement !. On peut donc dire que, pour la fonction figurée par la courbe corrélative, le point à l'infini est, lui aussi, un point de rebroussement. Cet exemple suffit à montrer comment cette méthode de transformation (analytique et géométrique) peut servir à étudier la marche et les propriétés des fonctions aux environs du point à l'infini, en les ramenant au voisinage du point zéro, c'est-à-dire de tel point pris à volonté dans le fini du plan.

11. On voit en même temps que ce point à l'infini du plan, que Ton considère souvent comme exceptionnel et que l'on qualifie d'impropre 2, est analogue à un point quelconque du plan. Une fonction peut y prendre une valeur finie et déterminée, ou même s'y annuler, comme en tout autre point du plan, et si certaines fonctions y deviennent infinies ou indéterminées, cela peut arriver, soit à d'autres fonctions, soit aux mêmes fonctions, en des points situés à distance finie. Dans la Théorie des fonctions, le point à l'infini peut être, tout comme un autre, soit un point ordinaire, soit un point singulier de la fonction considérée (pôle, point singulier essentiel), et la transformation définie ci-dessus permet d'étudier la fonction en ce point comme en n'importe quel autre, en le ramenant

Fijr. 29 tm.

1. Le lecteur le moins géomètre sent que la courbe 19 bis est moins continue que la courbe 28 bis : cela tient à la discontinuité de la dérivée première au point de rebroussement