Uneigcntlich • : Stolz, op. cit., t. II, chap. m

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à l'origine. Nous ne pouvons pas entrer dans le détail de la Théorie des fonctions; qu'il nous suffise de dire en un mot que le point à l'infini est en tout semblable aux autres points du plan, et qu'il n'offre pas d'autres particularités analytiques que celles qui apparaissent en des points à distance finie. Non seulement il est possible d'étudier une fonction en ce point comme en tous les autres, mais il est même indispensable de le faire, si l'on veut avoir une idée exacte et complète de cette fonction et de ce qu'on peut appeler sa « physionomie » analytique; car si Ton négligeait de rechercher ce qu'elle devient à l'infini, il y manquerait un trait essentiel, souvent même caractéristique1. En résumé, loin d'être un abîme obscur et sans fond où toute grandeur semble devoir s'évanouir avec ses propriétés et ses relations, l'infini analytique se comporte comme un état de grandeur fixe, précis et déterminé, offre un objet réel et consistant à la pensée scientifique, et est susceptible de relations exactes, cohérentes et bien définies.

12. On pourrait toutefois nous opposer certaines contradictions apparentes auxquelles la considération de l'infini semble nécessairement donner naissance, surtout quand on l'expose, comme nous l'avons fait dans ce Livre, sous diverses faces et à des points de vue différents. Pour achever de justifier l'infini géométrique et analytique, il nous reste à prévenir ces objections et à lever ces difficultés.

En premier lieu, dire que tous les rayons vecteurs issus de l'origine aboutissent à un seul et même point, dit point à Vinfini, n'est-ce pas contredire l'axiome de la ligne droite, en verlu duquel il ne peut y avoir plusieurs droites distinctes entre deux points donnés? Pour répondre & cette objection, il suffit de dire que l'axiome de la ligne droite ne s'entend que de deux points situés à distance finie l'un de l'autre, et c'est, en fait, avec cette restriction implicite que Ton invoque cet axiome dans la Géométrie élémentaire.

Il n'y a d'ailleurs aucune contradiction à le nier ou à le limiter comme nous venons de le faire, car cet axiome est un des postulats qui caractérisent notre espace euclidien; il n'a donc aucune nécessité logique et intrinsèque, et il peut subir certaines exceptions. Il en subit, en effet, dans les espaces à courbure constante positive, qu'on appelle espaces de Riemann, et où certains couples de points donnés

1. Cf. ce qui a été dit des relations des coniques avec la droite de l'infini

déterminent, mm pas une droite unique, mais une inanité de droites. Pour s'en rendre compte, il suffit de savoir que ta surface sphérique représente, dans notre espace, le plan de l'espace de Riemann, et que les lignes droites (géodésiques) de celui-ci sont représentées sur la sphère par des grands cercles (lignes géodésiques de la surface sphérique). On sait que par deux points quelconques pris sur la sphère il ne passe en général qu'un seul grand cercle; mais dans le cas exceptionnel ou les deux points choisis sont diamétralement opposés {c'est-à-dire sont les extrémités d'un même diamètre), il passe par ces deux points une infinité de grands cercles. Dans ce cas, les droites qui rayonnent, dans le plan de Riemann, autour d'un des points vont toutes concourir en l'autre point.

On peut même représenter ce fait en établissant une correspondance uniforme entre le plan euclidien et la sphère, c'est-àdire le plan de Riemann; en effet, si l'on transforme le plan, dans notre espace, par rayons vecteurs réciproques, par rapport à un point P extérieur à ce plan, on obtient une sphère ayant pour diamètre la droite PQ perpendiculaire au plan (Fig. .10). Le point Q, diamétralement opposé & P, sera l'image du point 0, pied de cette perpendiculaire dans le plan; les grands cercles qui passent par les deux points (pôles) P et Q seront les images des rayons vecteurs issus du centre 0 du plan; enfin le point P sera l'image du point à l'infini du plan '. Ainsi, de même que le faisceau des lignes géodésiques issues du pôle Q va se réunir au pôle opposé P, de même le faisceau des droites issues du point 0

t. Celle coiislruclii l'engendrer par rotai leurs réciproques transportée du pli

fond la même que celle de la/ïiym OA); c'est la Iransformalion dans l'espace.

dans le plan va concourir au point à l'infini de ce plan. On peut aussi considérer cette correspondance comme une perspective stéréographique (projection centrale depuis le pôle P) dans laquelle les images des rayons vecteurs divergents issus du point 0 vont converger au point de vue P.

13. On pourrait encore nous demander pourquoi le plan qui représente en Analyse l'ensemble des nombres complexes ne possède qu'un seul point à l'infini, alors que le plan, en Géométrie projective, en contient une infinité, dont l'ensemble constitue la droite de l'infini. Ainsi les mêmes éléments du plan, savoir ceux qui sont situés à l'infini, forment tantôt une droite et tantôt un point unique '. N'y a-t-il pas là une espèce de contradiction?

Cette contradiction, ou tout au moins cette opposition, vient de la diversité des moyens de transformation employés pour ramener h distance finie les éléments du plan situés à l'infini. En Géométrie pure, on emploie le plus souvent la méthode homographique, par laquelle les points correspondent aux points, les droites aux droites et les plans aux plans, de sorte que l'ensemble des points à l'infini d'un plan, représentant son intersection avec un plan parallèle, est assimilé à une droite (car l'intersection de deux plans quelconques est une droite). Si Ton emploie la méthode de dualité, par laquelle (dans le plan) les points correspondent aux droites et les droites aux points, au point pris pour origine correspondra une droite D, et à toute droite passant par l'origine, un point de cette droite D; en particulier, dans la transformation par figures polaires réciproques, le centre de la conique de base sera le pôle de la droite de l'infini, et le pôle de chaque diamètre sera à l'infini, de sorte que l'ensemble des points à l'infini du plan jouera le rôle d'une droite et formera la polaire du centre. De toute façon, le point-origine est le corrélatif d'une droite, en particulier de la droite de l'infini.

En Analyse, au contraire, on emploie de préférence, comme on l'a vu [7], la méthode des rayons vecteurs réciproques, par laquelle les points correspondent aux points, mais non les droites aux droites ni les plans aux plans. Cette transformation n'est donc pas homographique, et dès lors il ne faut pas s'étonner si elle aboutit à des résultats tout différents, notamment si elle donne à l'infini du plan la forme d'un point, et non plus celle d'une droite. Comme l'origine

i. Stolz, loc. cit.

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est un point commun à tous les rayons vecteurs, le point à l'infini sur chacun d'eux doit leur être commun à tous, puisqu'il est le réciproque de l'origine sur un rayon quelconque. Voilà pourquoi, dans ce mode spécial de transformation, le point-origine est le corrélatif d'un point '.

On peut encore se rendre compte de ce fait en se reportant à la figure 27. Il y a autant de points à l'infini dans un plan que de directions dans ce plan, c'est-à-dire que de droites rayonnant autour d'un point de ce plan. Or, puisque toute droite du plan a pour transformée une circonférence passant par l'origine, et sur laquelle l'origine correspond au point à l'infini de la droite, toutes les droites du plan se transformeront en circonférences passant par l'origine, et tous les points à l'infini du plan viendront coïncider avec le point O, commun à toutes ces circonférences. Ils sont encore virtuellement distincts, en tant qu'ils appartiennent à des circonférences différentes; mais comme toutes ces courbes se croisent à l'origine, les points correspondant à l'infini sur chacune d'elles viennent se superposer et se confondre au point unique 0.

14. Enfin, l'on pourrait s'étonner de ce fait que toutes les directions contenues dans le plan aboutissent à un seul et même point, de sorte que le plan serait entouré par le point à l'infini, ce qui parait absurde. Mais d'abord, il ne faut pas s'imaginer le plan comme limité et fermé par ce point, qui est, tout au contraire, destiné à le rendre absolument continu et interminable. On pourrait aussi bien se figurer la surface sphérique comme bornée par un point (par exemple le point P de la figure 30), ce qui ne l'empêche pas d'être continue et parfaitement illimitée, quoique finie. De même le plan est non seulement illimité, mais encore infini; et, loin de lui constituer une frontière, le point à l'infini n'existe qu'en vertu de l'impossibilité d'assigner au plan indéfini un contour quelconque, par suite, de la nécessité de le concevoir comme rigoureusement infini.

{. Ce fait peut s'expliquer, analytiquement, par l'opposition des variables complexes de l'Analyse et des variables réelles de la Géométrie. En effet, dans le plan de l'Analyse un nombre complexe (.r -|- iy), c'est-à-dire l'ensemble de deux nombres réels, désigne un point : ainsi les coordonnées : t = « , y = œ déterminent le point à l'infini. En Géométrie plane, au contraire, une équation linéaire représente une droite, et il faut deux équations semblables pour déterminer un point. Or l'ensemble des points à l'infini est représenté, en coordonnées homogènes (x, y, s), par féqualion : s = 0; il équivaut donc à une droite, dont les coordonnées homogènes sont :m-~ 0, t» — 0, w ^ 0.

Il n'en est pas moins vrai, dira-t-on, que le plan, tout infini qu'il est, semble tout entier contenu dans un point unique, ce qui est inconcevable. Mais conçoit-on beaucoup mieux ces vérités paradoxales de la Géométrie projective, que le plan est enveloppé par une droite (la droite de l'infini) et que l'espace est tout entier enveloppé par un plan (le plan de l'infini) '? Ce sont là des formules tout aussi choquantes, et qui n'ont pourtant rien de mystérieux; elles signifient simplement que l'ensemble des points à l'infini du plan ou de l'espace se comporte, en Géométrie projective, comme une droite ou comme un plan, et possède exactement les mêmes propriétés. D'ailleurs, si l'on tient à se figurer cet ensemble, qui par sa nature n'est pas susceptible de figure, on peut l'imaginer comme l'étal-limite d'un cercle infiniment grand ou d'une sphère infiniment grande, et dire que les points à l'infini du plan, par exemple, forment une circonférence de rayon infini. Mais, comme on l'a vu précédemment, une telle circonférence (dans l'espace euclidien) se confond avec une droite : il n'est donc pas si absurde qu'on le croit de considérer l'ensemble des points à l'infini du plan comme équivalant à une droite '. Tous ces paradoxes tiennent, au fond, à ce que l'infini est, comme Ta dit M. Delboeuf, une grandeur sans forme ', et par là même susceptible de prendre toutes les formes; ils viennent de ce qu'on essaie, illégitimement et en vain, de se représenter l'infini. *

On peut comprendre d'une manière analogue que le plan, à un autre point de vue, soit environné de toutes parts par un seul point. Gela veut dire que l'ensemble de ses éléments à l'infini se comporte, en Analyse, comme un point unique. Cette assertion n'a rien de contradictoire, ni en elle-même, ni avec la conception géométrique de la droite à l'infini du plan; car, ainsi que nous l'avons fait remarquer, on ne considère pas les éléments à l'infini du même point de vue et on ne les traite pas par la même méthode, en Analyse et en Géométrie.

15. Pour achever de justifier cette notion de point à l'infini du plan, on peut encore indiquer de quelle manière, dans l'étude analytique des fonctions, on le circonscrit et on l'enferme. Quand on veut isoler un point quelconque (par exemple un point singulier d'une

i. Pomcelet, Traité des propriétés projectives des figures.

2. On dit, en Géométrie projective (et analytique), que la droite de l'infini forme une circonférence de rayon infini avec une droite quelconque située dans le fini du plan (Clebscii, Leçons de Géométrie, 1. 1, chap. h, § vu).

3. Prolégomènes philosophiques de la Géométrie, livre 11, chap. if, § 4.

298 liv. iv. — l'infini mathématique

fonction) situé dans le fini du plan, on l'entoure d'une circonférence ayant ce point pour centre et un rayon infiniment petit (c'est-à-dire qu'on peut faire décroître indéfiniment). On le resserre ainsi dans un cercle qu'on est maître de rendre aussi petit qu'on veut. Si au contraire c'est le point à l'infini qu'on désire isoler du plan, on décrit une circonférence ayant pour centre l'origine, et un rayon infiniment grand, et l'on exclut toute la région du plan située en dehors de cette circonférence. On dit encore que cette circonférence entoure le point à l'infini, et qu'on a enfermé celui-ci dans un cercle qu'on peut resserrer indéfiniment, en faisant croître indéfiniment le rayon; de sorte qu'on peut regarder la partie du plan extérieure à la circonférence comme un cercle infiniment petit contenant le point à l'infini. G est ce qui a lieu en effet quand on transforme le plan par rayons vecteurs réciproques : le point à l'infini vient au point 0, qufr était primitivement l'origine, et l'origine s'en va à l'infini. Lacireon-* férence infiniment grande devient une circonférence infiniment petite qui entoure le point 0, et la partie du plan qui était en dehors du grand cercle devient la partie du plan intérieure au petit cercle. Ainsi se trouvent isolés et resserrés dans un cercle infiniment petit le point à l'infini et les points infiniment voisins, c'est-à-dire ceux qui étaient primitivement infiniment éloignés de l'origine. Si maintenant on fait croître indéfiniment le rayon du grand cercle, et qu'on le rende infini, le rayon du petit cercle correspondant décroîtra indéfiniment et deviendra nul, de sorte qu'au moment où la petite circonférence se réduit au point unique 0, la grande circonférence, dépassant tous les points situés dans le fini du plan, se réduit au point à l'infini qu'elle est censée entourer. C'est ainsi qu'on peut concevoir que le cercle infini qui constitue le plan ait pour circonférence un point.

16. On ne peut s'empêcher de remarquer que ces considérations infinitistes, familières à l'Analyse moderne, confirment et illustrent d'une façon inattendue une pensée célèbre de Pascal, dont on a trop souvent méconnu la justesse et la profondeur, faute, sans doute, de l'avoir bien comprise. Nous pourrions dire, en appliquant sa phrase au plan, que nous avons constamment considéré jusqu'ici, que « c'est un cercle infini dont le centre est partout, la circonférence nulle part » '. Celte formule paradoxale, si choquante pour

1. Pensées, art. I, n° 1, éd. Havet : « C'est une sphère infinie... »

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le boa sens, traduit et résume à merveille l'ensemble des faits mathématiques que nous venons d'exposer. Le centre du plan est partout, car l'origine est un point quelconque pris à volonté dans le fini du plan; la circonférence du plan n'est nulle part, car si on l'imagine dans le fini, on suppose le plan limité, ce qui est contraire à son idée; et si on la conçoit rejetée à l'infini, ce n'est plus une circonférence : c'est une droite ou un point. Ainsi le plan infini est, à certains égards, analogue à un point, c'est pour ainsi dire un point immense; et en effet, le point inétendu et le plan infini se ressemblent par certains côtés. Chacun d'eux constitue une unité, l'un par son indivisibilité, l'autre par sa totalité. Au surplus, le plan complet, et par suite infini, n'est-il pas, en Géométrie projective, un élément simple et en quelque manière absolu, au même titre que le point, auquel il correspond en vertu du principe de dualité? La corrélation du zéro et de l'infini, l'équivalence du point et du plan ne sont donc pas, en Mathématiques, des faits surprenants et inouïs; et d'ailleurs, ce n'est pas la première fois que nous voyons deux infinis opposés se rejoindre et les extrêmes se toucher.

Il ne faut pas s'effrayer outre mesure de ces paradoxes un peu rebutants : ils tiennent à l'essence même de l'infini géométrique. Ce qu'il y a de vrai, en somme, dans ces conceptions en apparence inconciliables, c'est que toutes les figures se confondent et s'évanouissent dans l'infini comme dans le zéro : ce sont comme le? deux pôles de la pensée géométrique, entre lesquels évolue le monde des formes imaginables. De même que le point n'est ni rond ni carré, mais peut être conçu comme la limite d'un cercle ou d'un carré infiniment petits, de même le plan tout entier n'est ni rond ni carré, mais doit être considéré, indifféremment, comme la limite d'un cercle ou d'un carré infiniment grands. C'est pourquoi sa partie située à l'infini n'est ni une circonférence, ni une droite, ni un point, et pourtant elle est tout cela à la fois, suivant la figure dont on se sert pour la représenter dans le fini. Tout ce qu'on peut conclure de ces prétendues contradictions, c'est que la forme géométrique n'existe que dans le fini, et qu'elle se perd dans l'infinimenl grand comme dans l'infiniment petit. Il ne faut donc pas chercher à se représenter l'infini, car il échappe, par sa nature, à l'intuition sensible et à l'imagination; mais il ne s'en suit nullement qu'on ne puisse le penser et le comprendre, et ce n'est pas une raison pour qu'on renonce à le connaître.

En résumé, l'infini de position est nécessaire pour assurer à la Géométrie projective la généralité et la continuité qui lui sont essentielles, et il engendre, dans la Géométrie métrique, l'infini de grandeur; |puis, par suite de l'application de l'Algèbre à. la Géométrie, la grandeur infinie passe dans l'Analyse, et devient un élé- j ment indispensable de la Théorie des fonctions; enfin, en vertu de la représentation des grandeurs par les nombres, elle se traduit dans l'Arithmétique générale par un symbole approprié, qui est le nombre infini. Ainsi la Géométrie et l'Analyse prouvent, par tout leur développement et par leur existence même, non seulement que l'infini est une idée parfaitement intelligible et « réelle », mais que cette idée est essentielle à la science des grandeurs, et qu'elle est même j l'objet le plus riche et le plus fécond de la connaissance mathé- j matique.

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DEUXIÈME PAKTIE

Dans la première Partie de cet Ouvrage, nous avons essayé de justifier l'infini mathématique par des arguments d'ordre positif et a posteriori. Prenant la science toute faite, nous avons exposé les faits mathématiques où l'idée d'infini s'introduit et s'impose, et nous avons montré quel intérêt rationnel on avait à admettre celte idée dans la science, pour lui assurer un développement systématique et harmonieux. Nous nous proposons maintenant de justifier la même idée a priori et par des raisons purement philosophiques, en montrant, par l'analyse de l'idée de nombre, que rien n'empêche de concevoir un nombre infini, et en dissipant toutes les contradictions que l'on a cru trouver dans cette notion. Pour cela, nous serons obligé de remonter aux éléments de l'Arithmétique, et d'en rechercher le sens et la valeur philosophiques. C'est à ce prix que nous pourrons établir que l'infini mathématique n'est pas seulement utile ou même nécessaire en fait, mais encore légitime et bien fondé en droit.

On s'étonnera peut-être de nous voir étudier les principes de la science après en avoir considéré le développement : il semble qu'avant d'exposer la généralisation du nombre, il eût fallu en examiner le fondement, à savoir l'idée de nombre entier. Mais l'ordre suivi par la critique est naturellement inverse de l'ordre logique et didactique, car la marche critique consiste à remonter des conséquences aux principes, de la science constituée et développée à ses fondements philosophiques. C'est pourquoi, en exposant la généra-

lisation du nombre, nous avons pris pour point de départ l'idée de nombre entier, comme une donnée primordiale, comme une chose connue et accordée, et nous n'avons critiqué que les extensions plus ou moins légitimes de cette idée. A présent, il s'agit de critiquer cette idée elle-même, qui sert, dit-on, de base unique à l'Analyse, et de découvrir les faits empiriques ou les hypothèses rationnelles qu'implique cette notion, primitive pour le savant, et en apparence irréductible. Cet examen approfondi nous permettra peut-être de décider s'il peut y avoir un nombre infini, et dans quel sens ou dans quelle mesure un tel nombre peut être, soit conçu, soit réalisé.

Cette seconde justification de l'infini mathématique se rattache d'ailleurs étroitement à la première : car les mêmes théories dont nous avons exposé le conflit dans la généralisation du nombre vont s'opposer et se combattre de nouveau au sujet du nombre entier. En effet, les tendances d'esprit qui se sont manifestées dans les diverses méthodes employées pour généraliser la notion de nombre se retrouvent nécessairement dans les diverses façons de comprendre cette notion elle-même; de sorte que le parti qu'on prend à l'égard du nombre entier détermine la manière dont on devra concevoir et former toutes les autres espèces de nombres. Ainsi le débat engagé dans la première Partie entre les différentes conceptions philosophiques de l'Arithmétique va se continuer sur l'idée même de nombre, et par là se restreindre et se préciser en même temps.

Les discussions que contient la première Partie de cet Ouvrage sont donc une préparation et une introduction aux recherches qui vont suivre : car on saisit souvent mieux l'esprit d'une théorie dans ses développements que dans ses principes, et si les conséquences ne doivent jamais servir à juger une doctrine, elles permettent du moins d'en mieux comprendre le sens et la portée. Inversement, l'analyse de l'idée de nombre éclairera la première Partie et lui donnera toute sa signification : car en étudiant les diverses conceptions du nombre entier, on découvrira la racine philosophique des théories précédemment discutées, on en apercevra mieux le caractère et la tendance, et l'on pourra les juger en connaissance de cause. Ce ne sont donc pas deux questions différentes que nous traitons successivement à propos du nombre infini : c'est une seule et même question que nous étudions sous ses diverses faces, d'abord dans les faits scientifiques qui la posent, puis dans les principes philosophiques qui la résolvent.

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