LIVRE I

Bien que la déûnition de l'idée de nombre soit proprement l'affaire des philosophes, il convient de s'adresser aux mathématiciens pour obtenir une réponse précise à cette question : « Qu'est-ce que le nombre? » En effet, si les philosophes ont, comme tout le monde, l'idée du nombre, les mathématiciens seuls savent quelle en est la valeur exacte ; seuls ils connaissent l'étendue et la variété de ses propriétés; seuls enfin ils peuvent déterminer les conditions de son usage et les limites de son application. Ils sont donc mieux placés que personne, il faut le reconnaître, pour se faire une idée complète et rigoureuse du nombre, et en particulier du nombre entier, fondement essentiel, sinon unique, de leur science.

Aussi les plus grands savants n'ont-ils pas dédaigné de revenir sur les principes les plus élémentaires de l'Arithmétique pour les formuler systématiquement. Parlons mieux : c'est justement parce que leurs travaux dans les parties les plus élevées de l'Analyse ont reculé les bornes de la science et étendu le domaine des applications du nombre, qu'ils ont éprouvé le besoin d'éclaircir et d'épurer la notion de nombre entier qui leur servait de matière et d'instrument. En outre, leurs découvertes ayant ouvert à la spéculation des horizons nouveaux et ayant accru le pouvoir et la fécondité de la science des nombres, leur conception de l'ensemble de la science s'est élargie, et ils ont acquis par là des vues philosophiques qui éclairent les principes d'un jour tout nouveau. Ainsi la philosophie profite de toutes les conquêtes de la science, et gagne en clarté et en profondeur ce que celle-ci gagne en richesse et en étendue.

Comme nous l'avons déjà fait prévoir, les deux doctrines opposées

En résumé, l'infini de position est nécessaire pour assurer à la Géométrie projective la généralité et la continuité qui lui sont essentielles, et il engendre, dans la Géométrie métrique, l'infini de grandeur; jpuis, par suite de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, la grandeur infinie passe dans l'Analyse, et devient un élément indispensable de la Théorie des fonctions; enfin, en vertu de la représentation des grandeurs par les nombres, elle se traduit dans l'Arithmétique générale par un symbole approprié, qui est le nombre infini. Ainsi la Géométrie et l'Analyse prouvent, par tout leur développement et par leur existence même, non seulement que l'infini est une idée parfaitement intelligible et « réelle », mais que cette idée est essentielle à la science des grandeurs, et qu'elle est même l'objet le plus riche et le plus fécond de la connaissance mathématique.