DEUXIEME PARTIE

Dans la première Partie de cet Ouvrage, nous avons essayé de justifier l'infini mathématique par des arguments d'ordre positif et a posteriori. Prenant la science toute faite, nous avons exposé les faits mathématiques où l'idée d'infini s'introduit et s'impose, et nous avons montré quel intérêt rationnel on avait à admettre celte idée dans la science, pour lui assurer un développement systématique et harmonieux. Nous nous proposons maintenant de justifier la mémo idée a priori et par des raisons purement philosophiques, en montrant, par l'analyse de l'idée de nombre, que rien n'empêche de concevoir un nombre infini, et en dissipant toutes les contradictions que l'on a cru trouver dans cette notion. Pour cela, nous serons obligé de remonter aux éléments de l'Arithmétique, et d'en rechercher le sens et la valeur philosophiques. C'est à ce prix que nous pourrons établir que l'infini mathématique n'est pas seulement utile ou même nécessaire en fait, mais encore légitime et bien fondé en droit.

On s'étonnera peut-être de nous voir étudier les principes de la science après en avoir considéré le développement : il semble qu'avant d'exposer la généralisation du nombre, il eût fallu en examiner le fondement, à savoir l'idée de nombre entier. Mais l'ordre suivi par la critique est naturellement inverse de l'ordre logique et didactique, car la marche critique consiste à remonter des conséquences aux principes, de la science constituée et développée à ses fondements philosophiques. C'est pourquoi, en exposant la généra-

En résumé, l'infini de position est nécessaire pour assurer à la Géométrie projective la généralité et la continuité qui lui sont essentielles, et il engendre, dans la Géométrie métrique, l'infini de grandeur; (puis, par suite de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, la grandeur infinie passe dans l'Analyse, et devient un élément indispensable de la Théorie des fonctions ; enfin, en vertu de la représentation des grandeurs par les nombres, elle se traduit dans l'Arithmétique générale par un symbole approprié, qui est le nombre infini. Ainsi la Géométrie et l'Analyse prouvent, par tout leur développement et par leur existence même, non seulement que l'infini est une idée parfaitement intelligible et « réelle », mais que cette idée est essentielle à la science des grandeurs, et qu'elle est même l'objet le plus riche et le plus fécond de la connaissance mathématique.

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