DEUXIEME PARTIE

Dans la première Partie de cet Ouvrage, nous avons essayé de justifier l'infini mathématique par des arguments d'ordre positif et a posteriori. Prenant la science toute faite, nous avons exposé les faits mathématiques où l'idée d'infini s'introduit et s'impose, et nous avons montré quel intérêt rationnel on avait à admettre celte idée dans la science, pour lui assurer un développement systématique et harmonieux. Nous nous proposons maintenant de justifier la mémo idée a priori et par des raisons purement philosophiques, en montrant, par l'analyse de l'idée de nombre, que rien n'empêche de concevoir un nombre infini, et en dissipant toutes les contradictions que l'on a cru trouver dans cette notion. Pour cela, nous serons obligé de remonter aux éléments de l'Arithmétique, et d'en rechercher le sens et la valeur philosophiques. C'est à ce prix que nous pourrons établir que l'infini mathématique n'est pas seulement utile ou même nécessaire en fait, mais encore légitime et bien fondé en droit.

On s'étonnera peut-être de nous voir étudier les principes de la science après en avoir considéré le développement : il semble qu'avant d'exposer la généralisation du nombre, il eût fallu en examiner le fondement, à savoir l'idée de nombre entier. Mais Tordre suivi par la critique est naturellement inverse de l'ordre logique et didactique, car la marche critique consiste à remonter des conséquences aux principes, de la science constituée et développée à ses fondements philosophiques. C'est pourquoi, en exposant la généra-

définition, ce nombre est unique et déterminé, quel que soit le nombre n x.

3. Définition de l'addition *. — On peut maintenant définir ce qu'on entend par : ajouter un nombre b à un nombre a. On applique la suite des nombres compris entre 1 et b inclusivement sur la suite des nombres qui viennent après le nombre a dans Tordre naturel; c'està-dire qu'à la suite des nombres

i, 2, 3 jusqu'à A,

on fait correspondre, un à un, les nombres consécutifs

a', a", a'", jusqu'à c.

Le dernier des nombres ainsi employés, c, qui correspond à 6, s'appelle la somme des nombres a et b (dans Tordre où ils sont énoncés), et l'on écrit :

Plus brièvement, on peut dire que Ton obtient le nombre c, somme de a et de b, en comptant 1, 2, 3,.... b sur la suite naturelle des nombres, en commençant par a' : mais il est bien entendu que par ce mot « compter » on désigne une énumération purement ordinale, et non un dénombrement proprement dit, le nombre cardinal b n'ayant pas encore de sens pour nous.

4. Grâce à cette définition de l'addition, on peut regarder chaque nombre de la suite naturelle (sauf le premier, 1) comme formé en ajoutant 1 à celui qui le précède immédiatement. En effet, dans la formule générale de l'addition, faisons b =: 1, et donnons successivement à a les valeurs 1, 2, 3,.... etc.; nous trouvons:

et en général

c'est-à-dire que la somme de chaque nombre entier et de l'unité est égale au nombre immédiatement suivant. Le nombre a restant fixe, donnons maintenant à b les valeurs consécutives 1, 2, 3,.... etc.; nous trouvons