Dei>ekini>, op. cit

2. Helmiioltz, op. cit., p. 24. Cf. Kko.necrkr, Urher deti ZahlbeyrifT, $ !i.

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Substituons maintenant dans ces égalités (identités numériques) aux nombres 2, 3,.... et a', a",.... leurs expressions sous forme de sommes de deux nombres; nous obtenons :

et en général l

Cette dernière formule, qui résulte de la définition même de l'addition, et que Helmholtz appelle « axiome de Grassmann », suffit à établir les deux lois essentielles de l'addition, à savoir la loi associative, qu'exprime la formule suivante :

et la loi commutative, qu'exprime la formule suivante :

Cette déduction, qu'on trouvera dans le mémoire cité *, s'efFectuo par induction complète. Ce mode de démonstration (qui conclut, comme on dit souvent, de n à n -4- 1) repose sur le théorème suivant 8 :

« Pour prouver qu'une proposition est vraie de tout nombre entier n (ou pour toute valeur entière positive attribuée à un indice indéterminé ou à une variable indépendante n), il suffit de prouver :

1° Que cette proposition est vraie pour n =.-. 1 ;

2° Que, si elle est vraie pour un nombre quelconque w, elle est encore vraie pour le nombre suivant

On généralise ensuite les lois associative et commutative en les

4. Une parenthèse indique le résultat numérique du calcul indiqué dans la parenthèse (par exemple une somme effectuée), c'est-à-dire un nombre unique.

2. Zâhlen und Messen, Théorèmes I, II, III. Voir aussi Poincark, Sur la nature du raisonnement mathématûjue, ap. Revue de Métaphysique et de Morale. t. II, p. 315-377.

3. Démontré par M. Dedbkikd, op. cit., 59, 60, 80. Cf. Poincaré, article cité.

étendant à une somme d'un nombre quelconque de nombres entiers, ce qui permet de formuler la proposition suivante :

Dans une somme de plusieurs nombres (en nombre fini quelconque), on peut intervertir leur ordre à volonté et en remplacer autant qu'on veut par leur somme effectuée.

En effet, les nombres étant donnés dans un certain ordre, on peut les ranger dans un autre ordre quelconque, assigné à l'avance, par une suite de permutations de deux nombres consécutifs; or de telles permutations sont permises, car elles équivalent à l'application répétée des deux formules qui expriment la loi commutativc et la loi associative '.

On retrouve ainsi toutes les propriétés caractéristiques de l'addition, comme conséquences logiques des définitions posées. On définit ensuite sans difficulté la multiplication, qui n'est qu'une addition répétée, et l'élévation aux puissances, qui n'est qu'une multiplication répétée *; de sorte que nous pouvons nous dispenser d'entrer dans ces considérations, toutes les opérations à effectuer sur les nombres entiers se ramenant en somme à l'addition, et toutes leurs propriétés reposant sur les lois essentielles de l'addition. Ce qui précède suffît donc à déterminer le sens et la valeur de cette théorie, dont nous allons essayer de préciser les principes et de définir l'esprit.

5. Mais, auparavant, il convient d'indiquer comment on conçoit et on introduit, dans cette théorie, le nombre cardinal.

Étant donnée une collection déterminée d'objets bien distincts, on les fait correspondre un à un aux nombres consécutifs, à partir de

1. Voici, à titre d'exemple, comment on démontre la loi commutative généralisée. Soient deux termes consécutifs d'une somme : b, c; je dis qu'on peut les permuter. On doit supposer qu'ils ne sont pas les premiers : car s'ils l'étaient, on aurait d'abord à faire leur somme; on pourrait alors les permuter, en vertu de la loi commutative, et le théorème serait inutile. Désignons donc par A la somme effectuée de tous les termes précédents : A est un nombre déterminé. Il s'agit maintenant d'effectuer la somme :

A -|- b -\- c, c'est-à-dire (A + b) + c

Or:

Donc

(A + à) + c = A + (b + c) loi associative.

A -j- {b -j- c) = A -(- (c -j- b) — commutative.

A -j- (c + 6) = (A -j- c) -j- g — associative.

(A + 6) + c = (A + c) + b ou simplement :

2. Voir Helmiioltz et Krokecker, op. cit. Cf. Dedekind, op. cit., §§ 11, 12, 13.

1; autrement dit, on leur applique chacun à chacun les numéros d'ordre successifs :

sans en omettre ni répéter aucun. Le dernier des nombres ordinaux ainsi employé, n, se nomme le nombre cardinal l de la collection donnée, ou le nombre des objets donnés; et Ton dit que la collection se compose de n objets *.

Cette opération s'appelle dénombrement; elle consiste à compte?1 les objets donnés.

Remarque. — L'opération que nous venons de définir est analogue à celle par laquelle nous avons défini plus haut l'addition [3]. Pour en faire ressortir l'identité, remarquons d'abord que l'on peut pratiquer le dénombrement dans une intention différente, et même, en un certain sens, inverse de celle que nous venons de considérer. Au lieu de se demander quel est le nombre d'une collection donnée d'objets, on peut se proposer de former une collection d'objets ayant un nombre donné n, ou, comme on dit, de prendre n objets dans une provision d'objets donnés en multitude suffisante. Pour cela, il suffit d'appliquer successivement les nombres ordinaux de la suite naturelle :

chacun à un objet distinct de la collection donnée; les objets ainsi marqués ou numérotés composeront évidemment la collection demandée.

Cela posé, l'addition d'un nombre b à un nombre a peut se définir comme suit : On prend, dans la suite naturelle des nombres, b nombres consécutifs à partir de a' = a -h 1 ; le dernier de ces nombres est la somme a -h b. On peut dire encore que Ton compte, dans la suite naturelle, b nombres à la suite du nombre a ; le mot « compter » ayant, cette fois, le sens d'un dénombrement, et correspondant à un nombre cardinal b.

6. Par définition, le nombre (cardinal) des nombres ordinaux de la suite naturelle compris entre 1 et n inclusivement est w, car chaque nombre ordinal se correspond évidemment à lui-même 3. Mais il

1. Anzahl, par opposition à Zahl, qui désigne le nombre ordinal et abstrait.

2. Helmholtz, op. cit., p. 32; Kronecker, op. cit., § 1; cf. Dedeklnd, op. cit., § 14, 161.