Dedekind, op. cit

faut bien remarquer que cette proposition n'est valable qu'autant que les nombres ordinaux sont rangés dans leur ordre naturel de 1 à tt.

En général, le dénombrement suppose les objets rangés dans un ordre linéaire déterminé, car, encore qu'ils puissent être donnes sans ordre, de manière à former seulement un ensemble bien défini *, c'est-à-dire une collection fermée, le fait seul qu'on leur applique

successivement les nombres ordinaux 1,2, 3, établit entre eux

un certain ordre linéaire, et transforme la collection donnée en un ensemble bien ordonné, c'est-à-dire qui a un premier terme, un second, un troisième, etc. Or, s'il est une vérité que tout le monde admet implicitement, mais que fort peu de savants aient songé à démontrer, c'est que le nombre cardinal d'une collection (finie; d'objets est indépendant de Tordre suivi dans le dénombrement, et que le résultat de cette opération est le même, quel que soit Tordre assigné aux objets en les comptant (c'est-à-dire en les numérotant) *. Pourtant, cet axiome ou postulat, comme on voudra le nommer, a besoin d'une démonstration, surtout lorsque Ton définit le nombre cardinal par le nombre ordinal, comme dans la théorie que nous exposons ici, de telle sorte qu'a priori le nombre cardinal d'une collection donnée parait dépendre de Tordre suivi dans le dénombrement qui lui donne naissance.

7. Voici comment Kronecker a essayé de démontrer cette importante proposition 3. 11 suppose donnée une collection déterminée d'objets; mais, pour ne pas avoir à supposer que les objets sont mobiles et indépendants, et qu'ils peuvent être intervertis, l'auteur admet qu'ils sont donnés dans un ordre linéaire fixe et déterminé. Si on les compte dans cet ordre, on obtient un certain nombre cardinal n : cela veut dire que dans ce dénombrement on a appliqué à la suite des objets donnés la suite des nombres ordinaux : 1, 2, 3,.... m. Puis on reprend l'ensemble de ces numéros, on les range dans un autre ordre, et on les applique de nouveau, un à un, aux objets rangés dans le même ordre. Cela revient évidemment à intervertir ceux-ci, et à les compter dans un ordre différent. Or, selon notre auteur, Tensemble des numéros ainsi employés reste le même; donc le nombre cardinal des objets, dans ce nouvel ordre, sera le

1. Pour la définition de l'ensemble bien drfini, voir Noie IV, § 1, 1.

2. Selon Hfi.miioltz, ce postulat de V invariance du nombre aurait été aperçu et signalé pour la première fois par Sciirôdkb (Lehvbuch der Arithmelik und Alyehra* Leipzig, Tetibner, 187H).