L'eber den Zaklbeyriff

même que dans le premier, à savoir n. Par conséquent, ce nombre est indépendant de Tordre suivi dans le dénombrement.

8. Il nous semble que cette démonstration n'est pas péremptoire, et qu'elle renferme un cercle vicieux !. Si l'ensemble des numéros d'ordre employés la première fois reste le même, par hypothèse, il n'est pas évident qu'il s'appliquera tout entier, dans son nouvel ordre, au môme ensemble d'objets, et qu'il le recouvrira tout entier, de telle sorte qu'il ne reste ni objet non numéroté, ni numéro non employé. Pour pouvoir l'affirmer, il faudrait que le nombre des signes

restât le même quel que fût leur ordre ; or c'est justement là un cas particulier du théorème qu'il s'agit de prouver. En effet, l'auteur regarde ces numéros comme des objets réels, comme des fiches qu'on pose sur les objets à dénombrer, et qu'on enlève ensuite; l'ensemble de ces signes forme donc une collection concrète, et il faudrait d'abord établir que le nombre cardinal de cette collection ne varie pas quand on en intervertit l'ordre : car, ainsi que nous l'avons fait observer [6], s'il est vrai de dire que ce nombre estw, c'est seulement en tant que ces signes se succèdent régulièrement de 1 à n dans la suite naturelle des* nombres, dont l'enchaînement est essentiellement invariable. C'est même uniquement cet ordre immuable qui sert à définir les nombres ordinaux et qui constitue, en principe, toute leur signification. Ces signes perdent donc leur sens de nombres ordinaux, et par suite aussi leur sens dérivé de nombres cardinaux, dès qu'on intervertit leur ordre naturel, et que, rompant la chaîne qui les unit les uns aux autres et donne à chacun sa valeur, on les traite comme des objets séparés et indépendants. Concluons donc que le postulat de l'invariance du nombre n'est pas établi, car, avant de le prouver pour une collection quelconque d'objets concrets, il faudrait le prouver pour la collection même des signes employés au dénombrement de cette collection.

9. Helmholtz a donné de ce même postulat une démonstration plus satisfaisante. Il considère la suite naturelle des nombres ordinaux comme fixe, et fait varier, au contraire, l'ordre des objets à dénombrer : et il le faut bien, puisque, d'une part, la suite naturelle

1. Nous avons été confirmé dans cette opinion par M. Canton, qui adresse la même critique au mémoire de Kroxecker (ap. Zeitschrift fur Philosophie, t. 91).

des nombres ne peut servir au dénombrement que par la succession régulière de ses termes, et que, d'autre part, il s'agit de prouver que le nombre cardinal des objets donnés reste invariable quand leur ordre varie, ce qui suppose évidemment qu'il est possible de les intervertir, au moins idéalement, sans quoi le postulat en question n'aurait pas de raison d'être pour ces objets. On suppose donc donnée une collection d'objets sans aucun ordre déterminé, et par suite susceptible d'un ordre quelconque, choisi à volonté. On représentera ces objets par des lettres grecques (abstraction faite de leur ordre alphabétique) ; d'ailleurs, ces lettres elles-mêmes peuvent être considérées comme des objets à dénombrer, de sorte que ce qu'on dira de cette espèce d'objets sera vrai de toute autre espèce d'objets donnés.

Cela posé, faisons correspondre une à une les lettres données aux nombres ordinaux consécutifs de la suite naturelle, à partir de i. Comme la suite naturelle est supposée fixe, c'est sur elle qu'on est censé appliquer les lettres, supposées mobiles et séparées, tandis que, dans la démonstration de Kronecker, c'était les numéros d'ordre qu'on appliquait, au contraire, sur la suite des objets considérée comme immuable ; cela revient d'ailleurs exactement au même. Ainsi l'on prendra au hasard une lettre, a par exemple, pour l'appliquer à 1, une autre, p, pour l'appliquer à 2, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé la collection donnée (car on la suppose essentiellement finie). Soit n le dernier des nombres ordinaux employés : n sera à la fois le nombre cardinal des nombres ordinaux employés, et celui des lettres données, prises dans V ordre indiqué : car, bien qu'on ne leur ait imposé d'avance aucun ordre, on leur en a assigné un particulier par le fait même du dénombrement. On ne sait donc pas si, en les appliquant dam un autre ordre sur la suite naturelle des nombres, on couvrirait les mêmes nombres ordinaux, et si par suite on trouverait le même nombre cardinal : et c'est justement ce qu'il faut démontrer.

Or, en premier lieu, l'on peut, sans changer le nombre cardinal des lettres, c'est-à-dire sans changer l'ensemble des nombres ordinaux employés (de 1 à w), permuter entre elles deux lettres quelconques, de manière que la première vienne occuper la place de la seconde, et la seconde la place de la première '. En effet, d'une part,

i. Il n'est pas nécessaire que les deux lettres à permuter soient voisines, c'est-à-dire correspondent à deux nombres consécutifs. Helmholtz parait, à ce

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l'ensemble des nombres ordinaux « couverts » n'aura pas varié, puisque chacun d'eux correspond, comme auparavant, une lettre, et une seule; d'autre part, l'ensemble des lettres n'a pas non plus changé, quant à son contenu, puisqu'on n'a fait que déplacer deux de ses éléments, sans en supprimer et sans en introduire de nouveaux '.

En second lieu, l'on peut, dans une collection finie de lettres (ou d'objets quelconques), transformer l'ordre donné en un ordre quelconque par une suite de permutations de deux lettres (voisines ou non). En effet, soit

l'ordre établi dans l'ensemble des lettres par le dénombrement effectué précédemment, et soit

8, X, e, ji, a, ... y

l'ordre, absolument arbitraire, qu'on veut leur imposer. On amènera 8 au premier rang, qui lui est assigné, en le permutant avec a; puis X au second rang en le permutant avec (ï; ensuite e au troisième rang en le permutant avec y, et ainsi de suite. On réalisera ainsi progressivement l'ordre demandé; à chaque permutation, le nombre des lettres rangées suivant le nouvel ordre augmente d'une unité, et celui des lettres non encore rangées diminue d'une unité, de sorte qu'après un nombre fini de permutations, on arrivera à n'avoir plus que deux lettres non rangées, à savoir les dernières; et si, par hasard, elles ne se trouvent pas déjà à la place qui leur est assignée, il suffira de les permuter pour les y faire arriver, et pour achever de ranger toutes les lettres suivant l'ordre prescrit d'avance. Ainsi, étant donné un ensemble fini et bien ordonné d'objets, on peut, sans en omettre ni en ajouter aucun (c'est-à-dire sans changer le contenu de l'ensemble), en intervertir l'ordre par une suite unie de permutations, de manière à obtenir tel ordre qu'on voudra. On en conclut la proposition suivante * :

« Les attributs (ou propriétés) d'une suite finie de lettres, que n'altère pas la permutation de deux lettres [voisines], ne sont altérés

propos, avoir confondu ou tout au moins mêlé deux considérations bien distinctes, celle de la loi commutative généralisée de l'addition (voir p. 310, note 1) et celle des permutations d'une suite bien ordonnée d'objets.

1. Cette proposition est générale, c'est-à-dire vaut aussi bien pour les ensembles infinis que pour les ensembles finis.