Helmholtz, Zùhlen und M esse n, Théorème IV

m 6 LIV. I. — DE L'IDÉE DE NOMBRE

par aucun changement d'ordre de la suite, et sont indépendants de Tordre de ses éléments. »

On peut appliquer en particulier cette proposition au nombre cardinal de la suite. En effet, ce nombre, comme il a été dit, ne varie pas quand on permute deux lettres entre elles; donc il reste invariable dans toutes les interversions possibles de la suite, et ne dépend pas de Tordre de ses éléments.

Remarque. — Une condition essentielle de la démonstration qui précède, c'est que la collection donnée soit finie, c'est-à-dire qu'en la dénombrant on arrive à un dernier nombre de la suite naturelle, .qui sera, par définition, le nombre de la collection tout entière. D'ailleurs, cette condition est déjà impliquée, comme on voit, dans la définition du nombre cardinal, de sorte que tout nombre cardinal est essentiellement fini. Si (par hypothèse) une collection est telle que tous les nombres ordinaux puissent s'y appliquer, de sorte qu'on ne puisse, en la dénombrant, trouver un dernier objet ni obtenir un dernier nombre, cette collection n'aura pas de nombre cardinal. Or une telle collection peut et doit être appelée infinie; il n'y a donc pas, dans cette théorie, de nombre infini '.

10. Ainsi le nombre s'affranchit de l'idée d'ordre impliquée dans tout dénombrement, et devient nombre cardinal en s'appliquant aux collections d'objets concrets. De même, on peut dégager l'addition de l'idée d'ordre impliquée dans sa définition, en l'appliquant aussi aux collections concrètes, et cela, grâce à l'axiome de l'invariance du nombre cardinal, que nous venons d'établir pour celles-ci.

Soient deux collections A et B ayant respectivement pour nombres cardinaux a et b\ on suppose qu'elles n'ont aucun élément commun. Soit C la collection formée par la réunion des deux collections données, c'est-à-dire qui contient tous les éléments de A et de B, et ceuxlà seulement; cette nouvelle collection est bien définie au même titre que les collections données. On va démontrer que le nombre cardinal c de cette collection est égal à la somme des nombres a et 6, telle qu'on Ta définie plus haut [3]. En effet, supposons les deux collections A et B rangées chacune suivant un ordre arbitraire, mais déterminé, dans lequel on les a dénombrées séparément. Si, pour former la collection C, on range les éléments de B (dans leur ordre)

1. Cf. Dkdeki.nd, o/>. cit., 98, U2. 419, 122, 123; 160, 161 noie.

Twrv

à la suite de ceux de A, qui ont aussi gardé leur ordre, et qu'on dénombre les éléments de C dans cet ordre particulier, on devra d'abord dénombrer les éléments de A en comptant depuis 1 jusqu'à a dans la suite naturelle des nombres, puis les éléments de B en comptant de (a -h 1) à c dans la même suite. Or, en dénombrant séparément la collection B, on a auparavant appliqué aux mêmes objets, rangés dans le même ordre, la suite des nombres ordinaux depuis 1 jusqu'à 6. On a ainsi fait correspondre, par l'intermédiaire de ces objets, la suite des nombres de 1 à b et la suite des nombres de [a -h 4) à c : donc le nombre c est, par définition, la somme des nombres a et b. D'autre part, les nombres cardinaux a et b sont indépendants de Tordre assigné respectivement aux collections A et B, et par suite invariables. De même, le nombre cardinal de la collection C est indépendant de Tordre de ses éléments; il reste donc le même, à savoir c, non seulement quand on change Tordre des éléments dans A et B, considérées comme parties de C, mais encore quand on intervertit à volonté tous les éléments de G, en mêlant ceux de A et ceux de B. Or, pour un ordre déterminé des trois collections, on a trouvé

Donc, dans tous les cas, c*est-à dire quel que soit Tordre des éléments de C, le nombre cardinal c sera égal à la somme des nombres cardinaux a et b, C. Q. F. D. *

On retrouve ainsi les idées de nombre cardinal et de somme de nombres cardinaux, en partant des notions de nombre ordinal et de somme de nombres ordinaux. De même que la conception du nombre comme collection d'unités dérive de la conception du nombre comme numéro d'ordre, la conception de l'addition comme adjonction des unités du nombre b à celles du nombre a dérive de la définition « ordinale » de l'addition, telle qu'elle est énoncée plus haut [3]. 11 semble donc bien que cette théorie, qui déduit le nombre cardinal du nombre ordinal, soit conforme à Tordre naturel et logique des notions fondamentales, et qu'elle réduise au minimum nécessaire le nombre des principes ou des postulats de l'Arithmétique.

\. Cf. Hklmholtz. Ziîhlen ami Mes*en*\K 33.