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Cfl. II. — CRITIQUE DE LA THÉORIE EMPIRISTE 319
des Qombres par cette sentence mythologique : « *0 Gsô; àsiOuLTjTtÏEi. » De même, Jacobi célébrait, dans une spirituelle parodie de Schiller, la science « divine », dont la beauté spéculative, indépendante de ses applications à la Physique, dépasse de beaucoup, selon lui, l'utilité pratique, et concluait, dans un style lyrique, que le Nombre éternel trône parmi les dieux de l'Olympe, bien loin au-dessus du monde, qui n'en est qu'un reflet. Kronecker s'associe à ces éloges et au culte rendu au nombre pur, et c'est justement pour le purifier de toute souillure terrestre et de tout commerce avec le monde sensible, qu'il subordonne le nombre cardinal et concret au nombre ordinal et abstrait, et qu'il conçoit la suite des nombres ordinaux comme une « provision » de signes absolument fictifs, conçus en dehors de toute collection empiriquement donnée, et qu'on appliquera ensuite aux objets de la nature afin de les soumettre au nombre. II semble donc que le concept de nombre soit indépendant de toute expérience, sinon de toute intuition, et que l'esprit le crée de toutes pièces pour l'imposer ensuite au monde physique. Pour résumer en un mot les opinions philosophiques de ces auteurs, qui ont tous professé plus ou moins explicitement une théorie du nombre analogue (en principe, sinon dans le détail) à celle qui est exposée dans le Chapitre précédent, il faudrait dire que cette théorie est radicalement aprioriste; de sorte qu'en la qualifiant d'empmsle nous aurions commis un complet contresens.
2. Regardons-y de plus près, cependant, et cherchons quelle est, dans cette théorie, la part de Va priori et celle de l'expérience. Ce qui est vraiment a priori, c'est l'ensemble des nombres ordinaux, c'est-à-dire une suite de signes ou chiffres inventés et rangés d'une façon absolument arbitraire. Mais ces signes n'ont, en dehors de leur figure et de leur ordre de succession, aucune valeur, aucune signification; leur enchaînement même est tout à fait conventionnel, et n'a pas de raison d'être : car ce n'est qu'après coup que l'on convient de dire que chacun d'eux (sauf le premier) est égal à la somme du précédent et de \. D'où vient, au contraire, et comment naît l'idée de nombre entier cardinal? Elle vient de l'application de cette suite de signes à une collection d'objets réels; elle naît du dénombrement d'un ensemble concret donné dans la perception; elle tire donc son origine de l'expérience !.
1. Il n'est pas besoin d'avertir le lecteur que nous raisonnons ici conformé-
Helmuoltz prétend démontrer que « le concept de nombre (cardinal), tiré du dénombrement d'objets extérieurs, se ramène à notre concept du nombre ordinal abstrait ' ». Mais il faut se demander comment et à quel prix il s'y ramène. Sans doute, en apparence, le nombre cardinal dérive du nombre ordinal, sans même qu'il soit besoin d'appliquer la suite naturelle des nombres à une collection concrète : il suffit de considérer cette suite comme terminée à l'un quelconque de ses termes; ce terme, le dernier de tous les nombres ordinaux considérés, est par définition leur nombre cardinal. Il semble donc que le nombre cardinal d'une collection ne soit rien de plus qu'un numéro d'ordre, savoir le dernier des numéros employés à la dénombrer. Mais, en réalité, l'idée de nombre entier n'est pas contenue dans cette succession toute formelle de signes vides de sens : et c'est pourquoi l'on recourt à l'opération empirique du dénombrement pour faire sortir cette idée de la considération d'un ensemble concret. On ne déduit donc pas le nombre cardinal du
nombre ordinal : on l'y ajoute ou plutôt on l'y accole, en appliquant lu suite des nombres ordinaux à une collection empiriquement donnée (fût-ce cette suite elle-même, considérée comme une collection de signes ou de dessins), où le nombre cardinal se trouve d'ores et déjà implique. Ainsi l'idée pleine et complète du nombre entier n'est pas le fruit d'une synthèse pure a priori, mais d'une synthèse expérimentale.
3. D'ailleurs, parmi tous les auteurs cités plus haut, l'un au moins ne s'est pas trompé sur la tendance et la portée véritables de la théorie qu'il soutient, comme on pouvait s'y attendre de la part d'un esprit aussi logique et philosophique : c'est Hklmholtz, qui déclare nettement, au début de son mémoire, qu'il se propose de combattre l'apriorisme kantien: puis, rappelant ses travaux sur la Géométrie non-euclidienne, où il avait essayé de prouver que les postulats de la Géométrie sont des vérités d'expérience, il annonce qu'il va étendre cette théorie empiriste aux axiomes fondamentaux de l'Arithmétique. Gomment se fait-il donc que le même auteur s'efforce ensuite de dégager autant que possible l'idée de nombre de son origine expérimentale, et semble la faire reposer sur une intuition a priori"! Cette double tendance, en apparence contradictoire,
ment h la théorie que nous critiquons, el qu'approuvent un Irop grand nombre de mathématiciens.
\. Zdhlen untf Mcssen, p. 32.
CH. n. — (HITIijLE IiE LA Tuf'.». If LU 111.1*11 }2\
est parfaitement logique au f<»nd: et le r&ppr<.<-lJriii'-ii! >\uc 1 auirur fait lui-même entre sa philosophie ;:éuuif-trt«]u«- «t -a p!ulM^q»J»i< arithmétique peut aider à comprendre ivlle-o, *-t v.i h'*u* ecf%if .» l'éclairer.
La Géométrie séné raie, rêvée par IiaI'**. réali-rr pur IIuima*!* ri HstMBOLTZ. qui n'est qu'une Algèbre traduite d.u»*. le Ui^^e .te U Géométrie, est purement analytique, et «s'applique *i pn .» i .*» [ou* le* esp.vres p***èibles. Mais pour l'appliquer à l'espar, c île notre itituiitOii qa'âE soit ou. non euclidien ;. il faut la particulariser ru y tdirodui- &ant. .*••>» Ee nom de postulats, les propriété* tpèdale* ri * u*f t*~ risJirçiitfs «fo ^et espace, propriétés que l'on n»: peut. cr»jU Mi. delrrnuBBer i|oe par L'expérience '. Ainsi le* loi- analytique dri ic.uibrr pair , f£kir «'est eu somme à des relation* a nt biblique- que ^ rr<lui- M'unit Hi^ilU» le* foirmriïes de L'Analyse *i ne ^apphquTM a tn esp*or |»»M^iailiikir ■ivûjffl.é '|iie ;çr*ce a une synthèse éïperimenUL-- : de *»vtt* -<g w'.ai -wssi *ip4rv: rit*m* a&*o-iiii ea Analyse r\-p»sfkd. p*r -icfii-^r '„>vij:&*:|wttot bkiuTit-Jj*-.. i^ +3a»ç,firL*sû* rt'iii-ral ea Gc-jiiiéi:ri«.
iLMr UrtŒbt, h, 1-ya arrsjiJr t p-sr-fier fies ^yc-c^pl* fond ain-e si taux rie J".%Tjttiib^.ign*r *■-. fc >«■ StDaûr *b*ù.*r+3MieiA a prwi. j.-Vbt eu Jet privant de- L^iui t»*TJf ti'.iïiEret. *& >î a^ x^tj^î |^.'j/f &i£-i dire de U-ur c».»uteiiu iuLuiliJ : '.»u *?**! d ■.»!*•.• ■:■).»! itr dr r-'.>.-iîrir « l'exp-.-rieLve pv.it remplir cet- Miui.'.ùvt- 1'.»rni^it *:! &.L»f!rb. Lt. •:-: îeur reiidrt ►■•.. q^vlqu»fc-»rt*' lii ré u u Lé *sl lu m»:. Or '.^tlv npj.i:j •*.:.'. -^ au m :ij !.••.■ L^il* un! Lui» - Liqu*- uu îmn.cit phybiqut- u*. pvu. s* \h.st .u.» pâ.» iu *Mif.ues»»r e*p. nui+Miluît- du cuii'.:r«! «t dt- J ui«s',!iLj: . ».]ri lai; reulier duii* le** b<;ii«:ine^ uimiyLiquff lu lutiUer»* ci'Miiié»- auut lu per<A!plioii. tM qui bt trauuii pur (it?^ pùdtulul^ uîumï rvpfirui»«h».?iil. U'.nuiiiv vérit».^ expén- Ui*nilal»>. «il par suit», «juiiliti^nl».'**. L'lU^ leh umuiik^ pu^^ d'ciburd u liitv (i*- •.'uiixeiiLini^ uriulruire-ï» «u: d». prm«:ip».^ raLiuiiueî^ :. ' hi pourrit dir»:. pat •-.\eiiipl«:. ub»oluiii**iil f jtrtw>. quv i et ï Vont -4, par:* iju* t ■.■^ati;«
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322 LIV. I. — DE l'idée de nombre
résulte analytiquement des définitions formelles des signes 2, 4 et -h [irt P. II, i, 1]. Mais pour pouvoir affirmer que deux objets ajoutés à deux autres objets font en tout quatre objets, il faut identifier le nombre cardinal et concret au nombre ordinal et abstrait, et admettre que l'adjonction matérielle des objets les uns aux autres obéit aux mêmes lois que l'addition des nombres abstraits 1. Or pour savoir si telle combinaison d'objets concrets vérifie telle ou telle loi, il faut bien consulter l'expérience, de sorte que les mêmes lois qui, pour les nombres purs, ont un caractère nécessaire et a priori, deviennent, appliquées aux objets physiques, de simples vérités d'expérience, et comme telles paraissent toujours précaires et approximatives, car elles sont à la merci d'une vérification expérimentale plus exacte; en tout cas, elles sont et restent toujours essentiellement contingentes, et ne peuvent prétendre en aucune manière à une nécessité rationnelle.
4. On aperçoit à présent l'analogie, ou mieux la parenté de cette théorie empiriste du nombre entier avec la théorie formaliste de la généralisation du nombre, exposée dans la première Partie [Livre I], C'est, au fond, la même conception philosophique, que nous avons d'abord étudiée dans son développement, et dont nous découvrons maintenant l'origine. Comme nous l'avons déjà indiqué brièvement [lre Partie, Livre II, Ch. i, 1], le même procédé d'épuration des concepts scientifiques, que nous avons vu appliqué aux diverses formes du nombre généralisé, atteint le nombre entier lui-même. Ainsi, quand on veut remonter à la source de la généralisation analytique du nombre, on aboutit à la conception formaliste du nombre entier, que nous venons d'exposer; et inversement, de cette conception, en apparence aprioriste, dérivent, par une filiation naturelle, toutes les théories par lesquelles on reconstruit a priori les nombres fractionnaires, négatifs, imaginaires, etc.
C'est surtout à l'égard du nombre irrationnel que l'analogie en question est manifeste. Sous prétexte de dégager le nombre irrationnel de son origine empirique (surtout géométrique), on le crée de toutes pièces, par une convention arbitraire ; puis, par un postulat non moins arbitraire, on affirme l'existence d'un point (ou d'un état de grandeur) correspondant, tandis que c'est l'existence de ce point qui exige et justifie, en réalité, l'invention de ce nouveau nombre
1- Cf. Miliiaud, Préface a la traduction de la Théorie générale des fondions de P. du Bois-Reymo.nd.
