CH. II. — CRITIQUE DE LA THÉORIE EMPIRISTE

[v. ire P., liv. 111, ch. m, 7, 8]. On ne réussit ainsi qu'à intervertir les pétitions de principe, mais non à les supprimer. On transporte la continuité originelle et radicale du domaine de la grandeur, où elle parait essentielle, dans celui du nombre, où elle est au moins superflue. Par ce chassé-croisé de postulats, on prive le nombre irrationnel de tout sens réel, et on lui enlève sa véritable raison d'être. On ne voit pas bien ce que Tordre logique y a gagné ; mais, en revanche, il est certain que Tordre rationnel y a perdu.

5. Si nous avons rappelé ici cette critique, c'est que la théorie empiriste du nombre entier est sujette, on Ta vu plus haut [2], à une critique toute semblable ; et cela se comprend, puisqu'elle procède de la même doctrine et repose sur les mêmes principes que la théorie soi-disant aprioriste de la généralisation du nombre. Nous voulons maintenant montrer comment, ainsi que nous l'avons annoncé, Tidée de nombre entier se trouve d'avance impliquée dans le processus psychologique du dénombrement, par lequel on croit expliquer le nombre cardinal, et d'où Ton prétend en tirer Tidée.

Pour pouvoir appliquer la suite des nombres ordinaux à une collection d'objets concrets, il faut évidemment que chacun d'eux soit conçu comme une unité distincte de toutes les autres. Helmholtz le reconnaît implicitement, car il impose au dénombrement la condition suivante : « Les objets nombres ne doivent pas, pendant qu'on les compte, disparaître, se fondre les uns dans les autres, ou se diviser, etc. Chacun des objets doit constituer un individu durable et reconnaissable. » Qu'est-ce & dire, sinon que chaque objet doit constituer une unité permanente? 11 ne s'agit pas, pour le moment, de savoir si les objets naturels offrent par eux-mêmes ces caractères d'unité et d'identité absolues qui sont nécessaires à leur dénombrement, s'ils sont naturellement susceptibles d'être comptés et s'ils sont par essence soumis à la loi du nombre : c'est là une question métaphysique que nous réservons pour la suite [Livre IV]. Peu importe, au point de vue purement logique, que l'objet se prête ou non par sa nature au dénombrement, qu'il possède intrinsèquement ces attributs d'unité et d'identité ou qu'il les reçoive d'un acte plus ou moins arbitraire de l'esprit : l'essentiel est que la pensée les lui reconnaisse ou les lui confère au moment où elle l'appréhende.

Ainsi, pour qu'on puisse compter des objets, quels qu'ils soient, il suffit, mais aussi il faut que chacun d'eux soit conçu comme un et identique à lui-même; en d'autres termes, la condition nécessaire et

suffisante du dénombrement n'est pas l'unité objective, mais l'unité subjective des choses données. L'unité qu'on exige ici des objets à dénombrer, ou qu'on leur impose, n'est donc pas une unité naturelle et réelle, mais seulement une unité logique et formelle, aussi conventionnelle d'ailleurs que l'on voudra : par exemple, on compte aussi bien des sacs de blé que des grains de blé, et des régiments que des soldats. Plus celte unité sera fictive et arbitraire, plus sera manifeste l'acte original et spontané par lequel la pensée la dégage, ou au besoin la crée.

6. La nécessité de l'unité et de l'identité de chaque objet de la collection donnée apparaît encore mieux dans la démonstration de l'invariance du nombre, qui suppose qu'on effectue deux dénombrements successifs de la même collection. En effet, il faut pour cela, non seulement que dans chacun de ces dénombrements chaque objet soit conçu comme im, mais encore que le même objet soit conçu comme un dans l'un et l'autre dénombrement, et par suite, qu'il soit reconnu comme identique à lui-même de l'un à l'autre : car comment le nombre de ces objets resterait-il invariable, si entre les deux dénombrements plusieurs se réunissaient en un seul, ou si un seul en devenait plusieurs? Encore ici, ce n'est pas d'une identité objective et réelle qu'il est question, mais d'une identité idéale et subjective. Hklmuoltz demande que les objets ne puissent, pendant qu'on les compte ou qu'on intervertit leur ordre, ni se diviser, ni se fondre ensemble ; si ces conditions sont entendues au sens physique et matériel, elles ne nous paraissent ni nécessaires, ni suffisantes. Pour que deux dénombrements (forcément successifs) d'une même collection suivant deux ordres différents donnent lieu au même nombre cardinal, pour qu'on puisse dire que le nombre d'une collection ne varie pas quand on intervertit l'ordre de ses éléments, il faut et il suffit que cette collection reste idéalement la même, c'est-à-dire que chacune des unités qui la composent primitivement demeure jusqu'à la fin identique à elle-même, et soit reconnue comme telle.

Comment pourra-t-on s'assurer de l'identité de chaque unité, d'un dénombrement à l'autre? Nous n'avons pas à nous en occuper; il appartient à l'opérateur, dans chaque cas particulier, de remarquer les signes sensibles qui distinguent chaque unité, et de veiller à ce qu'aucune d'elles ne disparaisse; tout cela est affaire de mémoire et d'expérience; aussi peut-on, tout en effectuant deux dénombrements exacls, commettre une erreur, soit qu'on se trompe, soit qu'on soit

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