CH. II. — CHITIQUE DE LA THÉORIE EMPIRISTE

trompé sur l'unité et l'identité de chacun des objets. Inutile d'ajouter qu'une telle erreur devra toujours être imputée aux conditions empiriques, plus ou moins défectueuses et fallacieuses, dans lesquelles on opère, et ne saurait jamais prévaloir contre l'axiome de l'invariance du nombre, dont la vérité n'est pas empirique, mais établie a priori ' .

Il nous suffit d'avoir établi que la condition essentielle de la permanence, et conséquemment de l'existence même du nombre cardinal d'un ensemble donné, n'est pas l'identité matérielle de son contenu, mais l'identité formelle des unités qui le constituent à l'origine. Or une telle identité ne peut être reconnue en fait et empiriquement constatée que si elle est d'abord idéalement conçue et définie par une sorte de convention ou de pacte de l'esprit avec lui-même. C'est en vain que le contenu matériel d'un ensemble (par exemple un seau plein de morceaux de glace) reste identique, si l'unité des éléments est instable et fugitive; et inversement, le contenu matériel d'un ensemble (d'un régiment, par exemple) peut changer entièrement : pourvu que les unités qui le constituent subsistent, le nombre en reste invariable. Aussi nous ne disons pas : « Chaque objet... » mais bien : « Chaque unité doit rester identique à elle-même » ; car l'objet peut changer ou être remplacé par un autre; il suffit que celui-ci occupe le même rang, reçoive le même numéro, et devienne à son tour le support de la même unité. Ce n'est donc pas la permanence des objets concrets, mais celle des unités abstraites qu'ils représentent, qui assure l'invariance du nombre de la collection donnée.

Allons plus loin : ce n'est pas en tant qu'objets, c'est seulement en tant qu'unités que l'on peut compter les éléments d'une collection : la collection dénombrée n'est donc pas à proprement parler une collection d'objets concrets, mais une collection d'unités abstraites. Or qu'est-ce qu'une collection d'unités abstraites, considérée comme un tout? C'est précisément un nombre entier. Ainsi toute collection donnée, en tant que dénombrée ou même dénombrable, est conçue comme un nombre entier. Dès que, faisant abstraction de la nature

t. C'est par des considérations analogues que nous réfuterions, s'il en était besoin et si c'était le lieu, ce paradoxe empiriste qui consiste à soutenir que, au cas où un malin génie susciterait constamment un nouvel objet toutes les fois que nous ajoutons deux objets à deux autres, nous ne pourrions nous empêcher de croire que 2 et 2 font 5.

particulière des objets donnés et des qualités propres qui les distinguent, on considère chacun d'eux comme un, c'est-à-dire qu'on le réduit à une unité, et qu'on embrasse toutes ces unités abstraites dans un même acte de pensée, on a l'idée du nombre entier cardinal. La théorie empiriste est donc impuissante à rendre compte de cette idée et ne réussit pas à la tirer de l'expérience, puisque l'acte psychologique du dénombrement, d'où l'on prétend la faire naître, la suppose au contraire préalablement constituée.

7. Cette critique, par sa simplicité même, risque de sembler superficielle et spécieuse ; aussi est-il bon d'y insister pour la confirmer et la préciser. Pour cela, remontons à la définition même du nombre cardinal, telle qu'elle se trouve formulée dans le Chapitre précédent [5] : elle repose entièrement sur l'idée d'une correspondance complète et uniforme entre une suite de nombres ordinaux et un ensemble bien ordonné d'objets. Peu importe, du reste, comment on réalise cette correspondance, c'est-à-dire qu'on applique les objets aux nombres (Helmholtz) ou inversement les numéros d'ordre aux objets (Kronecker). Toujours est-il que, pour faire correspondre à chaque nombre un objet distinct, ou inversement, pour pouvoir assigner à chaque objet un rang déterminé et lui appliquer un numéro d'ordre, il faut évidemment attribuer à chaque objet l'unité, et par suite concevoir l'ensemble des objets donnés comme une collection d'unités. D'ailleurs, comment pourrait-on seulement parler d' « un objet » ou de « chaque objet », si l'on n'avait préalablement dans l'esprit Tidée d'unité, et si, avant toute application des nombres aux objets, on ne pensait chaque objet comme un ? Ainsi le dénombrement n'est possible que si l'on considère d'avance les objets à dénombrer comme des unités; il présuppose donc l'idée d'unité, qui est nécessairement a priori.

Ce n'est pas tout : cette obligation de concevoir chaque élément d'un ensemble comme une unité ne concerne pas seulement la collection à dénombrer : elle s'applique également, et au même titre, à l'ensemble des nombres employés au dénombrement. En eflet, ainsi qu'il a été dit, ces nombres ne sont rien de plus que des numéros d'ordre ou des signes, c'est-à-dire des objets, de sorte que l'opération par laquelle on compte ou plutôt on numérote les objets donnés consiste simplement à établir une correspondance univoque et réciproque entre deux séries parallèles d'objets concrets. Pour faire correspondre « un à un » les objets et les nombres ordinaux, il faut non