Ueber den Zahlbegriff

définition du nombre cardinal implique l'idée même qu'on prétend définir.

Bien qu'elle ne contienne pas de cercle vicieux, la théorie de Helmiioltz donne lieu à des remarques analogues, qui viennent à l'appui de notre conclusion. Nulle part, en effet, dans la théorie du nombre pur, Helmiioltz n'emploie le mot ni n'invoque l'idée d'unité, ce qui prouve bien qu'il ne parvient pas, en partant de ses principes, à retrouver le nombre cardinal conçu comme une collection d'unités. Sans doute, on peut prouver, après coup, en vertu des définitions de l'addition et du nombre cardinal, que tout nombre entier n est la somme de n unités. Mais il faut bien prendre garde à ce que veut dire cette proposition dans une telle théorie. Elle équivaut simplement à une égalité telle que la suivante :

cette identité numérique ne signifiant rien de plus que ceci : le chiffre 3 est le troisième des nombres ordinaux. En effet, le chiffre I n'a pas ici le sens d'unité : il n'est que le premier des nombres ordinaux dans la suite naturelle. Quant au signe +, il désigne l'addition telle qu'elle a été définie, c'est-à-dire dans un sens purement ordinal : ainsi (1 -4- i) ne représente pas l'unité ajoutée à elle-même, mais le nombre ordinal qui suit 1, soit 2; (1 -4- 1 4- 1) n'est donc pas la somme de trois unités, c'est le nombre ordinal qui suit 2, soit 3; et de même pour tous les autres nombres. Ainsi l'on ne réussit pas, malgré les apparences, à déduire du nombre ordinal le nombre cardinal abstrait, conçu comme une collection d'unités. Le nombre cardinal qu'on a défini n'est jamais qu'un nombre ordinal déguisé; c'est le dernier des nombres ordinaux appliqués aux objets dénombrés. On ne dépasse donc pas, en réalité, le domaine du nombre ordinal, et, en s'y enfermant dès l'origine, on s'est condamné à n'en plus sortir.

9. D'ailleurs, pour Hklmuoltz, le nombre cardinal est toujours un nombre concret, c'est-à-dire appliqué à une collection donnée; le nombre ordinal seul est abstrait ou pur, c'est-à-dire a priori. De même, la définition « cardinale » de l'addition, comme adjonction des unités d'un nombre b à celles d'un nombre a, lui paraît être une conception empirique, et c'est pourquoi il lui a substitué la définition que l'on peut appeler « ordinale ». Aussi l'idée d'unité, celte idée pourtant si essentiellement rationnelle, n'apparaît, dans le mémoire

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