CH. II. — CRITIQUE DE LA THÉORIE EMPIRISTE
de cet auteur, qu'à l'occasion des nombres « dénommés * », c'està-dire concrets, qu'on obtient en dénombrant des objets de même espèce : « Quand on compte des objets égaux sous un certain rapport, chacun d'eux est considéré comme une unité, et le nombre qu'on obtient alors s'appelle nombre dénommé», l'espèce particulière des unités qui le composent étant la dénomination de ce nombre. Dans cette conception, le nombre cardinal ne serait pas toujours ni nécessairement une collection d'unités ; il pourrait y avoir nombre, c'està-dire pluralité, sans unités composantes, puisque les objets dénombrés ne sont conçus comme unités que dans le cas où ils sont égaux. Or, le plus souvent (pour ne pas dire toujours) ce sont des objets inégaux que l'on compte, de l'aveu même de l'auteur : de sorte qu'en général un nombre cardinal ne serait pas composé d'unités.
Cette théorie est, selon nous, le contrepied de la vérité. Il faut dire, tout au contraire : Quand on compte des objets quelconques, chacun d'eux est considéré comme unité, et par suite comme numériquement égal aux autres, en tant qu'ils sont tous des unités équivalentes, et concourent au même titre à former une collection et par suite un nombre. « Raphaël, un théorème, un canon * », cela fait trois objets; or il serait difficile de dire sous quel rapport ils sont égaux, tandis qu'on voit très clairement que, pour pouvoir les compter et dire qu'ils sont trois, il suffit de concevoir chacun d'eux comme un, de le réduire à une unité, et de réunir ces unités en uu tout. Ainsi le nombre cardinal n'est pas essentiellement concret ou « dénommé » : ce n'est pas le nombre propre à telle ou telle collection d'objets de même espèce et portant le nom de cette espèce ; c'est une collection d'unités indépendantes de la nature des objets qui les supportent et les incarnent : c'est en un mot un nombre abstrait.
10. Ces considérations achèvent de caractériser la doctrine que nous critiquons, et montrent que nous avons eu raison de la qualifier d'empiriste. C'est en effet parce que ses auteurs ont pensé que le concept de nombre cardinal était réellement « tiré du dénombrement des objets extérieurs », qu'ils ont cru devoir le dégager de cette origine prétendue empirique, et le définir purement a priori en le réduisant au nombre ordinal. Ils ne se sont pas aperçus qu'ils renversaient ainsi l'ordre rationnel de ces concepts, sans bénéfice pour l'ordre logique : car si le nombre cardinal, comme on vient de le
