CHAPITRE III

A la théorie en apparence aprioriste, mais au fond empiriste, que nous venons de critiquer, nous devons naturellement opposer et substituer une théorie empiriste en apparence, mais rationaliste en réalité. « Empiriste en apparence », car elle définit le nombre « une collection d'unités », et le dégage de la considération des collections concrètes fournies par l'expérience, ce qui, aux yeux des savants dont nous venons de discuter les idées, suffît à entacher l'idée de nombre de données expérimentales. Mais « rationaliste en réalité » : car si ces auteurs ont eu le tort de croire que le nombre cardinal a une origine empirique, c'est qu'ils n'ont pas vu que le dénombrement des objets donnés dans l'intuition sensible suppose déjà l'idée d'unité et celle de nombre entier, de sorte que ces idées sont antérieures à toute expérience, et véritablement a priori. Nous ne craindrons donc pas d'expliquer l'idée de nombre entier par la considération des collections concrètes, car si l'on peut retirer par abstraction un nombre d'une collection donnée, c'est parce qu'on l'y a d'abord impliqué, en pensant chaque objet de cette collection comme une unité, et par suite la collection elle-même comme un nombre entier.

1. Pour arriver à une définition aussi complète que possible de l'idée de nombre entier, il ne sera pas inutile d'examiner auparavant quelques-unes des définitions qu'en ont proposées divers auteurs dont l'esprit et les tendances se rattachent, de près ou de loin, au rationalisme, et qui ont eu une conscience plus ou moins nette de leur position philosophique. Cet examen nous révélera les lacunes ou les défauts de ces définitions, et, en nous montrant ce qui leur manque pour devenir adéquates à l'idée h définir, nous mettra sur la

■ }\ -f-7r*~ ttt"-*.» f1;^ >""•.■ ;«v - f" ■"*."•"*

Cil. III. — THÉORIE RATIONALISTE DU NOMBRE ENTIER 333

voie d'une définition plus complète. Il va sans dire que nous serons obligé d'apprécier ces définitions d'après une idée préconçue, mais nous ne croirons pas pour cela encourir le reproche de parti pris ni commettre une pétition de principe, en préjugeant la question et en supposant d'avance la définition où nous voulons aboutir. On nous dispensera sans doute de réfuter à ce propos les arguments captieux par lesquels les Sophistes prétendaient prouver qu'on ne peut chercher ni ce que Ton connaît, ni ce que l'on ne connaît pas. Comment pourrions-nous chercher une définition convenable du nombre entier, et apprécier l'exactitude relative des définitions proposées, si nous ne possédions déjà implicitement l'idée qu'il s'agit de définir, et si nous ne lui comparions les diverses formules par lesquelles on a essayé de l'exprimer?

Toutes les définitions d'idées seraient d'ailleurs sujettes à la même objection fallacieuse et éristique, de sorte que les définitions de mots seraient seules possibles, ce qui est absurde : car la première définition de mot devrait se faire au moyen de mots, et alors, ou bien les mots employés ne seraient pas définis et ne signifieraient rien, ce qui réduirait toute la science à un pur formalisme, et même au psittacisme, ou bien les mots employés auraient un sens, qui ne pourrait être déterminé que par des définitions d'idées. Aussi, tandis que les définitions de mots sont toujours arbitraires, puisqu'elles assignent par convention un sens déterminé à un terme par hypothèse vide de sens, les définitions d'idées ne peuvent jamais être indifférentes, car on peut et Ton doit les juger en les confrontant avec l'idée préalablement donnée qu'elles sont destinées à expliquer. En résumé, il ne s'agit pas ici de construire de toutes pièces l'idée de nombre entier avec des concepts qui ne l'impliquent pas, mais de décrire cette idée implicite sous une forme explicite, d'en donner pour ainsi dire le signalement; en un mot, de trouver une formule logique de cette idée rationnelle.

2. Au surplus, nous serons nécessairement guidé dans cette recherche par les discussions du Chapitre précédent, car nous n'avons évidemment pu critiquer la théorie empiriste qu'en invoquant déjà l'idée rationaliste du nombre, et nous ne songeons nullement à nous en cacher. En effet, aucune critique sérieuse et tant soit peu solide ne peut être exclusivement négative, et la réfutation d'une théorie philosophique n'est valable, n'est possible même, que si elle s'appuie, tacitement ou non, sur une autre théorie. Ainsi la

théorie rationaliste du nombre se trouve forcément esquissée et préformée dans la critique de la théorie empiriste, et nous n'aurons qu'à développer les indications contenues dans le Chapitre précédent. En revanche, et pour la même raison, nous aurons à revenir dans la suite sur cette critique pour la compléter et la confirmer sur certains points; car, de même que les objections faites à la théorie empiriste contiennent en germe toute la théorie rationaliste, de même, à mesure que celle-ci se développe et s'affirme, elle fait ressortir par contraste les vues de la théorie opposée, et fournit contre elle de nouveaux arguments. Il ne faut donc pas s'étonner que nous n'ayons pu dissocier entièrement et isoler, dans la composition de ce Livre, l'exposition de Tune et la réfutation de l'autre, et que nous ayons dû les mêler dans une certaine mesure, car elles sont naturellement inséparables. On nous excusera d'avoir insisté sur ces questions de méthode, afin de calmer les scrupules formalistes des logiciens, et de prévenir les objections des mathématiciens. Il n'était peut-être pas superflu d'avertir les uns et les autres que, dans ces questions de Philosophie, la méthode scientifique et déductive n'est pas de mise : il convient d'employer une méthode critique et réductive, qui consiste à analyser les idées fondamentales de la science, et à remonter aux principes qui sont le point de départ de toute déduction ; pour tout dire, la question que nous agitons ne relève pas de la logique formelle, mais de la raison.

3. Tout en nous inspirant dans ce qui suit des idées de M. Cantor, nous négligerons la distinction que cet auteur établit entre le nombre cardinal et le nombre ordinal, et cela pour plusieurs raisons : d'abord, pour simplifier la théorie du nombre entier, car cette distinction compliquerait inutilement notre exposition, et surtout engendrerait une confusion presque inévitable entre le « nombre ordinal », au sens de M. Cantor, et le nombre ordinal, au sens habituel et courant, que nous avons seul employé jusqu'ici, à l'exemple de Kroneckkh et de M. Dkdkkind : en effet, ce que M. Cantor entend par « nombre ordinal » est précisément le nombre cardinal tel que nous l'avons primitivement défini d'après Hklmuoltz, c'est-à-dire le nombre entier relatif à un ordre déterminé de la collection qu'on dénombre. En outre, il n'est pas nécessaire de discerner, comme fait M. Cantor, deux degrés dans l'abstraction par laquelle on obtient l'idée de nombre cardinal. Car si, en faisant seulement abstraction de la nature des éléments d'un ensemble bien ordonné, on obtient ce que l'auteur

CH. III. — THÉORIE RATIONALISTE DU NOMBRE ENTIER 33o

appelle le « nombre ordinal », puis, en faisant ensuite abstraction de Tordre des éléments, le nombre cardinal, de sorte que celui-ci dérive du « nombre ordinal » par une nouvelle abstraction, le nombre cardinal peut aussi bien se tirer directement d'un ensemble bien défini (sans ordre déterminé) par la même abstraction qui, appliquée à un ensemble bien ordonné, donne lieu au « nombre ordinal ». Si donc Ton peut, à un certain point de vue, considérer le nombre cardinal comme issu du « nombre ordinal » par un second degré d'abstraction, à un autre point de vue on peut obtenir immédiatement le nombre cardinal par le premier degré d'abstraction, de sorte qu'il peut et doit être conçu sans l'intermédiaire du « nombre ordinal » et indépendamment de toute idée d'ordre. Ajoutons enfin que, si la distinction du nombre cardinal et du nombre ordinal a une grande importance à l'égard des ensembles infinis, il n'y a pas lieu de la faire pour lés ensembles finis, car dans ceux-ci les deux espèces de nombres coïncident constamment (en vertu de l'axiome de l'invariance du nombre) et ont toujours été confondus. Cette distinction, qui est capitale dans la théorie générale des ensembles, où elle jette une vive lumière, n'est donc pas indispensable à la théorie des nombres entiers finis, et peut être omise sans inconvénient dans la présente étude *.

4. Des considérations précédentes ressort déjà une définition du nombre entier (cardinal), que l'on peut, avec un éminent mathématicien, formuler comme suit : « Si dans la considération d'objets séparés » (ou plutôt : distincts) « on fait abstraction des caractères par lesquels les objets se distinguent, il reste le concept du nombre (Anzahl) des objets considérés '. » Comme on voit, cette définition traditionnelle décrit passablement la notion rationaliste du nombre; elle concorde d'ailleurs avec les vues de M. Cantor, qui définit le nombre cardinal : « le type idéal que l'on obtient quand, dans un ensemble d'objets, on néglige leur nature (leurs différences qualitatives) et leur ordre ». Pourtant, la déûnition citée plus haut nous parait incomplète, parce que l'idée d'unité n'y est pas expressément impliquée. Cette idée y fait même doublement défaut, car non seulement chaque objet doit être conçu comme un, mais la collection des

1. Nous en avons, au contraire, tenu compte dans l'exposition de la théorie de M. Cantoh sur les nombres entiers infinis. Voir Note IV, § V, notamment n" 64, 55 et 60.

2. Lipschitz, Lehrbuch der Analysh. vol. I, § 1 (Bonn, 1871).

objets dénombrés doit, elle aussi, être conçue comme une unité. L'idée d'unité est donc deux fois impliquée dans l'idée de nombre, comme élément d'abord, comme lien ensuite; elle en fournit ainsi tour à tour la matière et la forme. Toute définition du nombre qui omet l'un ou l'autre de ces deux rôles de l'idée d'unité est insuffisante, comme il apparaîtra de la discussion suivante, dont nous venons, pour plus de clarté, d'annoncer le résultat et d'anticiper les conclusions.

5. Que l'idée de nombre suppose nécessairement l'idée d'unité, et ne puisse être composée que d'unités préalablement conçues, cela est évident, et a été suffisamment établi dans le Chapitre précédent. Faute de cette idée d'unité qui est l'élément essentiel du nombre, ce n'est pas le nombre proprement dit qu'a défini M. Lipschitz, mais bien plutôt ce que M. Stolz ! appelle, plus exactement, une « pluralité ». En effet, ce mathématicien rigoureux et subtil distingue avec soin la pluralité du nombre, qui n'est qu'une espèce de pluralité : « Une pluralité est un ensemble ou une multitude {Mengé) d'objets distincts, dont on néglige les différences et l'ordre. » Ainsi, étant donnée une multiplicité sensible, et par suite hétérogène, on en tire une multiplicité homogène, en faisant abstraction des qualités et de l'ordre des éléments, et c'est ce qu'on nomme une pluralité. 11 faut bien remarquer que ce concept de pluralité n'implique pas l'idée d'unité. Aussi est-il intéressant d'exposer brièvement les idées de M. Stolz sur ce sujet, pour voir quand et comment il introduit l'idée d'uni ti>.

Cet auteur définit d'abord l'égalité des pluralités, en ces termes : « Deux pluralités sont égales *, quand on peut les coordonner (zuordnen) entre elles d'une manière uniforme et complète, en faisant correspondre à chaque élément de l'une un élément distinct de l'autre. » Ensuite, il compare toutes les pluralités possibles, c'est-àdire composées d'objets quelconques, aux pluralités obtenues par la répétition du signe 1, qu'on nomme unité. Enfin, il appelle nombre (Zahl) toute pluralité d'unités, c'est-à-dire une collection de signes 1 juxtaposés et réunis; et nombre (Anzakl) d'une pluralité concrète, la pluralité d'unités qui lui est égale, en vertu de la définition précé-