Arithmétique générale* vol. 1, chap. u

2. Les pluralités égales de M. Stolz correspondent exactement aux ensembles équivalents de M. Castor et aux ensembles semblables de M. Dedekind : voir Note IV, § 1, 3.

dente. De la proposition évidente : « Deux pluralités égales à une même troisième sont égales entre elles » on conclut immédiatement : Deux pluralités égales ont le même nombre.

6. Ce résumé suffit à montrer le point faible de cette théorie. La définition de l'égalité des pluralités suppose, contrairement à l'hypothèse, que chaque pluralité est composée d'unités, puisqu'on en fait correspondre un à un tous les éléments. L'on ne peut coordonner deux pluralités que si on les considère comme des pluralités d'unités, c'est-à-dire comme des nombres : l'idée de nombre est donc impliquée dans la conception des pluralités égales, et par conséquent ne peut se définir par l'égalité de deux pluralités. Ainsi la définition précédente du nombre enferme un cercle vicieux. Pour avoir voulu se passer de ridée métaphysique d'unité, la théorie du nombre de M. Stolz pèche par la base et ne se soutient pas, et cela était à prévoir. Sans l'idée d'unité, on peut à la rigueur concevoir une multiplicité indéfinie, mais non pas une pluralité proprement dite. D'ailleurs, il est bien évident qu'il ne peut y avoir pluralité sans unité : car, pour pouvoir penser a plusieurs », il faut d'abord penser « un ». Si donc Ton définit le nombre « une pluralité d'unités », toute pluralité sera en même temps un nombre : on ne pourra donc plus distinguer « pluralité » et « nombre », ni partant définir le nombre entier par la pluralité '.

Remarquons, en outre, que si l'auteur a bien vu qu'il fallait commencer par définir le nombre cardinal, il a essayé d'éluder l'idée d'unité en composant le nombre entier de signes 1 juxtaposés, comme si un signe, quel qxi'il soit, pouvait tenir lieu de l'idée signifiée! Peu importe qu'on figure l'unité abstraite et idéale par un bâton ou par un point, par un rond ou par une croix : on n'esquive pas l'obligation de penser l'idée que ces signes représentent (par convention du reste, comme les lettres représentent les sons), parce que ces signes, pour simples qu'ils soient, sont toujours des objets, et s'ils suggèrent l'idée d'unité, ils ne peuvent la remplacer dans l'esprit et dispenser de la concevoir. Or, si l'on peut attacher, par convention, l'idée d'unité au signe 1 ou à tel autre signe qu'il plaira de dessiner, on peut tout aussi bien l'appliquer à un objet quelconque, c'està-dire attribuer à cet objet l'unité, de sorte que n'importe quelle collection d'objets concrets pourra représenter un nombre, de la