I. Cf. UiSNEKr, Philosophie der Arithmetik, rhap. vi et vu

même manière qu'une réunion de signes 1. Ce n'est pas la forme des objets donnés qui importe, c'est l'acte de pensée par lequel on conçoit chacun d'eux comme un. Il ne faut pas dire seulement que toute pluralité a un nombre, en tant qu'elle peut être égale à une pluralité d'unités; mais que toute pluralité est un nombre, en tant qu'elle est pensée comme une pluralité. Dés lors, il est absolument inutile de la comparer et de la coordonner à une pluralité d'unités (c'est-àdire de signes 1) pour lui attribuer un nombre : elle est elle-même un nombre, c'est-à-dire une pluralité d'unités.

7. Ainsi la théorie de M. Stolz, malgré sa tendance manifestement rationaliste, prête le flanc aux mêmes critiques que la théorie empiriste, parce qu'elle est encore entachée de ce formalisme qui fait trop souvent prendre aux mathématiciens « la paille des signes pour le grain des idées » '. 11 ne faut donc pas dire que deux collections coordonnées ont par suite le même nombre; c'est au contraire parce qu'elles ont le même nombre qu'elles peuvent être coordonnées. Disons mieux : deux ensembles ainsi coordonnés ne sont pas seulement égaux ou équivalents, ils sont identiques, en tant que pluralités d'unités; ils sont le même nombre. En résumé, l'idée du nombre entier est à la fois impliquée d'avance dans les deux collections que l'on coordonne, car leur correspondance même suppose que dans chacune d'elles on conçoit les objets comme autant d'unités, et par conséquent qu'on les réduit toutes deux à des pluralités d'unités.

On voit par là dans quel sens il faut entendre et accepter cette proposition de M. Cantor * : « Le nombre (cardinal) d'un ensemble est le concept général commun à cet ensemble et à tous les ensembles équivalents. » Autrement dit : le caractère commun à plusieurs collections égales est leur nombre cardinal. Cette proposition est vraie, si l'on admet auparavant, comme il vient d'être dit, que deux pluralités sont égales quand elles ont le même nombre : car elle est un himplc corollaire de celle-ci. Mais elle est fausse, ou du moins fallacieuse, si l'on veut l'ériger en définition du nombre cardinal, et si Ton prétend que c'est de la considération de plusieurs collections égales que naît, par abstraction, la notion de nombre entier; car

1. Connue lea empiristes, railleur a cru pouvoir définir l'unité par le chiffre 1, au lieu de délinir tous les nombres, à commencer par 1, au moyen de l'idée d'unité.

'2. Zeitschï'ift fiiv Philosophie und phiiosophische Kritik, I. yi et î>2.

on retombe alors dans le cercle vicieux que nous avons signalé plus haul [6]. C'est en vain qu'on croit pouvoir tirer l'idée du nombre du rapprochement de deux ou plusieurs collections, puisque ce rapprochement même n'est possible que grâce à cette idée; et si la comparaison de deux collections coordonnées peut suggérer l'idée de leur nombre commun, c'est que cette idée est impliquée déjà dans leur coordination. Ainsi l'idée de nombre n'est pas un concept général et abstrait issu de la considération de pluralités égales données dans l'expérience; et si l'on se figure l'en retirer parles procédés ordinaires d'abstraction et de généralisation, c'est qu'on l'y a d'avance introduite en pensant ces collections comme numériquement égales.

8. II faut remarquer que, en parlant de l'idée de nombre, nous n'entendons pas le concept générique de nombre, sous lequel sont compris tous les nombres concevables, mais chaque nombre entier pris à part; il ne s'agit pas du nombre en général, mais de tel nombre particulier. Tandis que le concept général et abstrait de nombre est unique, il y a autant d'idées de nombres que de nombres. Ce n'est donc pas « idée de nombre » qu'il faudrait dire, mais « idée numérique », ou mieux encore « idée-nombre ». On nous objectera peut-être qu'il ne s'agit pas ici de définir chaque nombre en particulier, mais le nombre en général, de sorte que nous aurions affaire, non aux idées numériques, mais au concept générique de nombre. A cela nous répondrons : ce que nous voulons expliquer, c'est ridée-nombre individuelle, et non le concept général de nombre, qui d'ailleurs résulte naturellement de la considération des nombres particuliers. En un mot, nous cherchons une définition générale de toutes les idées-nombres, applicable à chacune d'elles, prise à part, et c'est précisément en cela que consiste le concept universel de nombre.

9. De ce qui précède il ressort que l'idée individuelle d'un nombre déterminé ne peut être un concept général et abstrait. Examinons pourtant si, dans un autre sens, elle ne pourrait pas résulter d'un acte d'abstraction, comme semble l'indiquer la définition énoncée précédemment (d'après MM. Lipscuitz et Cantor). Cette abstraction porterait, non plus sur diverses collections conçues comme égales ou équivalentes, mais, à l'intérieur d'une seule et même collection, sur les divers objets qui la composent. Mais, pour pouvoir dire que l'idée de nombre s'obtient en faisant abstraction de tous les carac-

tères distinctifs des objets donnés, il faut qu'en les dépouillant de leurs qualités sensibles on réduise chacun d'eux à une unité. Or l'idée d'unité ne peut être le résidu d'aucune abstraction opérée sur les données sensibles : car l'unité n'est ni une perception, ni un élément de perception. Si donc ce qui doit rester de chaque objet, une fois l'abstraction effectuée et achevée, c'est une unité, il faut qu'on lui ait conféré h l'avance cette unité formelle, car elle n'est assurément pas donnée dans sa perception, à la façon d'une qualité sensible, telle que le rouge ou le chaud.

On peut confirmer cette assertion par une sorte de contre-épreuve. Le concept le plus général que l'on puisse tirer par abstraction des objets d'expérience est certainement celui de « quelque chose »; or c'est en même temps le plus vague et le plus vide de tous, aussi ne peut-il suffire, quoi qu'on ait dit *, à constituer l'idée de nombre. En effet, le concept de « quelque chose » est absolument indéfini : il n'est pas plus un que plusieurs, et il s'applique indifféremment à un ou à plusieurs objets, sans qu'il soit nécessaire, ni même possible, de le répéter : par exemple, un louis, c'est quelque chose \deux louis, c'est encore quelque chose ; trois louis, c'est toujours quelque chose, et ainsi de suite. Tout ce qu'on peut dire, c'est que ce n'est pas toutes les fois la même chose; et encore, en tant que c'est « quelque chose », c'est toujours la même chose. Pour pouvoir répéter ce concept de « quelque chose » et l'extérioriser par rapport à lui-même, il faut rappliquer h plusieurs objets; il faut donc concevoir chacun d'eux comme un « quelque chose » distinct des autres « quelque chose », c'est-à-dire en somme concevoir plusieurs « quelque chose ». On ne peut donc former un nombre au moyen du concept de « quelque chose » qu'en associant à ce concept indéterminé l'idée d'unité pour le déterminer; et alors ce n'est pas le concept de « quelque chose » qui constitue le nombre par sa répétition, mais bien l'idée d'unité, (jui seule permet de le répéter. Concluons que l'idée d'ww et le concept de « quelque chose » ou de « n'importe quoi » ne sont nullement synonymes, comme on le prétend -, et que la première seule peut servir d'élément à l'idée de nombre. En résumé, pour que l'idée de nombre fût réellement le résultat d'une abstraction, il faudrait qu'on pût d'abord affirmer la même chose de l'idée d'unité, qui est le fondement de l'idée de nombre. Mais le produit ultime de

1. Ilosciu.. l'hilosophir fU*r Arithmetik, lro partit-, rliap. iv. p. 90 notamment.