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l'abstraction, le genus geneiwlissimum, est le concept de « quelque chose », et non point l'idée d'unité; celle-ci n'est donc pas un résidu de l'expérience et le dernier des caractères communs à tous les objets perceptibles, mais une forme rationnelle pure que l'esprit impose a priori à tous ses objets, par le fait seul qu'il les pense.

10. En résumé, ni l'idée d'unité, ni conséquemment celle de nombre ne sont le fruit de l'abstraction appliquée aux objets d'expérience. Si Ton peut penser deux objets comme égaux, c'est en attribuant à chacun d'eux l'unité \ et si l'on peut penser deux collections comme égales, c'est en attribuant un nombre à chacune d'elles. Sans doute, on peut, logiquement, définir le nombre comme le caractère commun à deux pluralités égales, ou dire que deux ensembles auront par définition le même nombre quand on pourra les coordonner d'une manière univoque et réciproque. Mais il ne faut pas oublier que cette coordination, signe de leur égalité, présuppose l'idée de nombre, ni, par suite, prendre cette définition logique pour une définition philosophique. Ainsi l'idée mathématique de nombre repose, si l'on veut, sur l'égalité des pluralités; mais celle-ci repose, à son tour, sur l'idée métaphysique d'unité, antérieure à toute définition mathématique. De même, dans la théorie empiriste, on définit le nombre cardinal au moyen des nombres ordinaux, mais à la condition de considérer d'abord chacun de ceux-ci comme une unité.

D'ailleurs, le mathématicien ne définit pas, au fond, et n'a pas à définir le nombre; il définit seulement l'égalité des nombres, et cela lui suffit pour construire logiquement toute l'Arithmétique. Que cette définition implique l'idée philosophique du nombre, cela est bien évident; mais le mathématicien n'a pas à s'en occuper. Eu général, il ne définit jamais aucun des concepts fondamentaux de la science : ni le nombre, ni la longueur, ni la durée, ni la masse, qui sont pourtant les objets propres de la spéculation mathématique et les éléments constitutifs de toutes les grandeurs '. Il ne peut et ne doit définir que l'égalité et l'addition de deux grandeurs de même espèce : ces définitions lui suffisent à caractériser chaque espèce de grandeurs, et la déterminent entièrement'. Or de telles définitions, loin d'engendrer l'idée de l'espèce de grandeurs que Ton considère,