Voir Ghap. n

2. Cf. Pa*:\l, De Vesprit géométrique, sect. I : • On trouvera peut-être étrange que la Géométrie ne puisse déllnir aucune des choses qu'elle a pour principaux objets : car elle ne peut définir ni le mouvement, ni les nombres, ni l'espace... •

3. Voir !'• Partie, Liv. 1, Chap. m, 16, et 2* Partie, Liv. II, Chap. i et u.

ne sont possibles que grâce à cette même idée préalablement conçue. C'est néanmoins de ces seules définitions que le savant prétend tirer la notion de chaque espèce de grandeurs, et il se flatte de n'introduire dans la science aucune donnée qui ne soit contenue dans ses définitions. Ainsi l'idée scientifique est logiquement postérieure à ces définitions, d'où elle tire toute son existence; mais elle repose, comme ces définitions elles-mêmes, sur une idée philosophique antérieure et correspondante. En effet, toutes les définitions mathématiques sont purement nominales, et par suite présupposent toujours le concept qu'elles ont l'air de construire. C'est pourquoi les concepts logiques élaborés par le savant impliquent nécessairement des idées rationnelles qui échappent, par leur nature même, à toute définition scientifique. Ainsi s'explique cette opposition de Tordre logique et de Tordre rationnel, que Ton retrouve partout dans les principes des Mathématiques. Si elle ne constitue pas, à proprement parler, un vice de la méthode scientilique !, puisqu'il faut bien que celle-ci prenne hors de la science son point de départ et son point d'appui, on ne doit pas non plus l'imputer à la Philosophie et lui en faire un reproche, caries concepts scientifiques ne font que traduire des notions métaphysiques, mais ils ne peuvent ni les remplacer ni les supprimer; et sans ces idées qui lui servent de fondements, la science n'existerait pas.

Au fond, la science, en tant que système logique, se réfère, pour ses principes constitutifs, à la raison philosophique, et lui emprunte tacitement toutes ses données initiales. En particulier, la Mathématique prend ou reçoit l'idée de nombre toute faite, et n'a pas à l'expliquer, à l'analyser et h la critiquer. Il serait donc absurde de demander une définition mathématique du nombre : car on ne définit une notion qu'à l'aide de notions antérieures, et le premier concept mathématique qu'on définit suppose nécessairement des idées qui échappent à toute définition scientifique, et qui ne relèvent que de la Métaphysique. Or de tout ce qui précède il ressort cette conclusion : toutes les définitions mathématiques du nombre impliquent l'idée philosophique du nombre entier, conçu comme une collection d'unités; elles supposent donc les idées rationnelles d'unité et de pluralité, qui sont d'ailleurs corrélatives. 11 ne faut pas croire

i. Quoi quVn nil dit Pascal, qui voulait qu'on pût tout définir et tout démontrer {De l'esprit géométrique, secl. 1).

qu'en définissant le nombre : une pluralité d'unités, nous tombons sous le coup de la critique adressée plus haut à la définition de M. Stolz, qui s'énonce exactement dans les mêmes termes. En effet, cet auteur se flattait de concevoir la pluralité sans faire appel à l'idée d'unité, et de définir le nombre comme une espèce de pluralité; or nous avons montré que les idées de nombre et de pluralité étaient équivalentes, et impliquent toutes deux également l'idée d'unité '. Mais cette même formule, qui n'était pas valable comme définition scientifique du nombre, est parfaitement légitime comme définition philosophique : car on ne prétend pas créer par là l'idée de nombre et la construire à la façon d'un concept logique per genus et differentiam specificam; on se contente de décrire une idée rationnelle qui préexiste à toute définition. En d'autres termes, c'est une définition d'idée, et non une définition de mot, comme sont toutes les définitions mathématiques proprement dites. Que l'on ne nous reproche donc pas de donner du nombre une définition peu scientifique; nous répondrions que c'est justement ce qui en fait la valeur philosophique, attendu qu'une définition mathématique du nombre (en admettant qu'elle fût nécessaire) ne serait possible que grâce à une définition antérieure qui ne serait pas mathématique, mais métaphysique.

il. Ainsi toute définition mathématique du nombre enveloppe nécessairement une pétition de principe, comme nous l'avons montré pour celle que propose M. Stolz. On pourrait être encore tenté, par exemple, de donner à celle que nous proposons une forme plus scientifique, et de définir le nombre entier, non plus comme une collection, mais comme une somme d'unités. Mais il faut bien s'en garder, car ce serait commettre un cercle vicieux. En effet, la notion de somme suppose celle de nombre : pour définir l'addition des nombres entiers, il faut auparavant avoir défini ces nombres. D'ailleurs, selon une remarque ingénieuse de M. Cantor *, pour pouvoir définir le nombre entier comme la somme de ses unités, et le construire par l'addition successive de l'unité à elle-même, il fau-

1. En outre, notre définition diffère de celle de M. Stolz : 1° en ce que les unités constitutives de la pluralité sont identiques à l'idée d'unité, au lieu d'être des signes 4; 2° en ce que la pluralité, pour devenir un nombre, doit à son tour revêtir la forme de l'unité. Ainsi, tandis que pour M. Stolz le nombre diffère de la pluralité par les unités qui en sont la matière, pour nous, il en dilTère par l'unité qui constitue la forme du nombre.

2. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten, ap. Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik, t. XCI.

drait savoir d'avance de combien d'unités il se compose, ou combien de fois Ton doit ajouter l'unité à elle-même pour former ce nombre : ce qui revient à dire qu'il faudrait déjà connaître ce nombre et en avoir l'idée préconçue.

Au contraire, il n'y a aucun cercle vicieux à concevoir le nombre entier comme une collection d'unités, précisément parce que l'idée de collection ou de pluralité n'est pas mathématique. Non seulement elle est indépendante de la définition de l'opération mathématique appelée addition, mais elle y est nécessairement impliquée, aussi bien que dans -la définition du nombre. Voici en effet comment il convient de définir l'addition des nombres cardinaux :

La somme de deux ou plusieurs nombres entiers est le nombre formé par la réunion de toutes leurs unités !.

Ainsi, de même que la notion mathématique de nombre suppose l'idée rationnelle de pluralité, et que la notion mathématique d'unité (le nombre 1) suppose l'idée métaphysique d'unité, la notion mathématique de somme suppose l'idée rationnelle de collection ou de « réunion », et c'est justement pour cela qu'elle ne peut pas la remplacer dans la définition philosophique du nombre.

Maintenant, une fois qu'on a défini les nombres cardinaux, leur égalité et leur addition, on peut remarquer et démontrer que chaque nombre entier est égal à la nomme arithmétique des unités qui le composent. Cette proposition s'établit exactement comme dans la théorie empiriste, car elle repose sur les mêmes définitions et s'en déduit par les mêmes raisonnements. Mais, comme ces définitions mêmes, elle prend une tout autre signification dans la théorie rationaliste que dans la théorie empiriste : et c'est un exemple remarquable de la diversité des interprétations philosophiques qu'on peut donner d'une seule et môme déduction mathématique. L'ordre et l'enchaînement logique des vérités restent identiques, mais leur valeur rationnelle est toute différente; cela tient à ce que la forme seule des propositions et relations est commune, tandis que les idées

i. D'après MM. Stolz et Cantok {loc. cit.". Toulefois, ces auteurs déduisent l'addition des nombres cardinaux de celle des ensembles ou pluralités, i|ii*ils définissent ainsi : « La réunion de deux ensembles en un ensemble unique s'appelle leur somme »: puis ils ajoutent : « Le nombre cardinal de l'ensemble résultant est, par définition, la somme des nombres cardinaux des ensembles composants -, d'où résulte la définition énoncée ci-dessus dans le texte. Mais ce détour nous semble pour le moins inutile, puisque nous n'admettons pas qu'on puisse concevoir un ensemble bien délini ou une pluralité sans en concevoir le nombre cardinal.

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qui en sont la matière et en constituent les termes changent du tout au tout.

12. Prenons, pour préciser ces considérations, un exemple concret. Les égalités suivantes

sont vraies dans Tune et l'autre théorie, en vertu des définitions de l'égalité et de l'addition des nombres entiers. Mais, tandis que dans la théorie empiriste [v. Ch. h, 8] la somme 1 -+- 1 -4- 1 n'avait qu'un sens « ordinal » et formel, ainsi que les nombres 2 et 3 eux-mêmes, elle possède maintenant un sens réel et « cardinal » : elle représente la réunion effective de trois unités. Aussi, au lieu d'être une conséquence de Tordre arbitrairement assigné aux nombres ordinaux dans la suite « régulière » des nombres, la définition de l'addition va, tout au contraire, lui servir h présent de principe et de fondement.

En effet, chaque nombre entier étant une collection d'unités, il est indiqué, pour obtenir des nombres entiers (nous ne disons pas : tous les nombres entiers), d'ajouter l'unité à elle-même, progressivement, et de ranger à la suite les uns des autres les nombres consécutifs ainsi formés. L'ordre dans lequel on les obtient n'a plus rien d'arbitraire, car il a sa raison d'être dans la règle d'addition successive : on construira donc ainsi la suite vraiment « naturelle » des nombres entiers \ chaque nombre étant égal à la somme du précédent et de l'unité, et engendrant le suivant par l'addition de l'unité.

Comme on voit, le rapport de filiation du nombre cardinal et du nombre ordinal, dans la théorie rationaliste que nous exposons, est précisément l'inverse de celui qu'établit la théorie empiriste. Dans celle-ci, on définit la somme (a -+- 1) par le nombre ordinal qui suit immédiatement a; nous convenons, au contraire, de ranger à la suite de a le nombre cardinal (a H- 1). Plus généralement, tandis que l'empiriste définit le nombre cardinal n par le ne nombre ordinal, et convient de dire que n est par définition le nombre des nombres de la suite naturelle compris entre 1 et n (inclus), nous dirons que le nombre cardinal n se trouve être le n° dans la suite naturelle, parce que l'ensemble de ce nombre et de ceux qui le précèdent con-

1. Ou plutôt : une suite naturelle de nombres entiers, car rien ne permet d'affirmer que par ce procédé on obtient tous les nombres entiers, c'est-à-dire toutes les collections possibles d'unités.

tient n nombres entiers. Enfin, dans la théorie empiriste, si Ton disait que 3 est la somme de trois unités, c'est parce que ces unités pouvaient correspondre une à une aux nombres ordinaux J, 2, 3, de sorte que cela revenait simplement à dire que le nombre 3 est le troisième dans la suite naturelle. Dans la théorie rationaliste, 3 est, en vertu de sa définition, la somme de trois unités, et c'est pour cela qu'il figure au troisième rang dans la suite naturelle. Ce n'est plus, en un mot, la suite A qui sert à définir la série B :

c'est, au rebours, la série B qui engendre la suite A par la .sommation progressive de ses termes *.

13. Ainsi la théorie rationaliste du nombre retrouve, comme conséquence de ses principes, la suite naturelle des nombres qui sert de principe et de point de départ à la théorie empiriste [Ch. 1, 1], mais avec un sens bien différent, et par une marche rationnelle qui la justifie. 11 est inutile de poursuivre plus loin l'exposé de cette théorie, dont le développement ne diffère pas essentiellement, pour la forme, de celui de la théorie empiriste, attendu que Tordre dans lequel on construit déductivement l'Arithmétique est le même de part et d'autre, et que ce qui importe n'est pas la forme des définitions et des démonstrations, mais la valeur philosophique des idées qu'elles contiennent : or cette valeur est déterminée dès les premiers principes; ceux-ci suffisent donc à caractériser l'esprit de toute la théorie qui en découle. Nous remarquons seulement, en terminant, qu'il n'y a pas lieu, dans la théorie que nous venons d'exposer, de démontrer ni l'invariance du nombre ni la loi commutative de l'addition, qui sont les principales difficultés de la théorie empiriste. En effet, la définition du nombre cardinal et celle de la somme sont indépendantes de l'idée d'ordre; par conséquent, tout nombre est indépendant de l'ordre de ses unités constituantes, et toute somme est indépendante de l'ordre des nombres composants. On peut dire