LE NOMBRE, L'ESPACE ET LE TEMPS LE NOMBKE INFINI

1. Nous n'avons pas fini d'analyser l'idée de nombre entier, et la définition ou description que nous en avons donnée n'est pas encore complète, car nous n'en avons pas fait ressortir un élément essentiel, à savoir l'unité synthétique de la collection d'unités qui constitue le nombre entier. M. Cantor a eu le mérite, fort rare et peutêtre unique parmi les mathématiciens, de signaler le caractère unitaire et « organique » du nombre entier. Il convient d'insister, à son exemple, sur ce caractère éminemment rationnel de l'idée de nombre, le plus important, et aussi le plus souvent méconnu ou négligé. Sans doute il n'intéresse pas les savants, car la définition couramment adoptée ofTre à l'Arithmétique une base suffisante; mais en revanche il a une grande valeur au point de vue philosophique, car il est nécessaire pour compléter l'idée métaphysique du nombre. Seulement, tandis qu'il est évident que ridée d'unité forme l'élément constitutif du nombre ou de la pluralité, il est beaucoup moins aisé de voir qu'elle en forme aussi le nœud, et qu'elle est pour ainsi dire le lien qui réunit toutes les unités en un faisceau unique. Depuis Euclioe *, on savait que le nombre entier est un ensemble ou une multitude d'unités; mais ce dont on ne s'est pas souvent aperçu, c'est que cette multitude ne devient à proprement parler un nombre que si elle revêt la forme de l'unité, si elle devient à son tour une unité complexe, c'est-à-dire

(. • Movdt; £ot:v, xa9'r,v sxasrov :wv ovccuv sv Xsygrxi. 'AptOjxo; Ôs, to êx (i-ovaficov tjvxsîiasvov tt^o;. » (Éléments, livre VII). Cette définition de l'unité est extrêmement remarquable par son caractère rationaliste : les deux Chapitres précédents n'en sont que le commentaire.

un tout. Ainsi l'unité et la pluralité ne suffisent pas à constituer entièrement l'idée du nombre : il faut superposer l'unité à la pluralité, pour obtenir leur synthèse, qui est la totalité. Nous retrouvons par là les trois catégories kantiennes de la quantité dans leur ordre hiérarchique et génétique; et nous constatons d'autant plus volontiers cet accord ou cette rencontre avec Kant, que nous serons tout à l'heure obligé de nous séparer de lui '. En résumé, nous avons établi que le nombre entier est une pluralité d'unités; nous allons montrer qu'il est aussi l'unité d'une pluralité.

2. Et en effet, pour tirer d'une collection donnée l'idée d'un nombre entier déterminé, il ne suffit pas de penser chaque objet de la collection comme un : il faut encore réunir tous ces objets, c'està-dire toutes ces unités, dans un acte synthétique de pensée, et par suite concevoir la collection tout entière comme un objet, donc comme une. En d'autres termes, il faut penser, non pas plusieurs objets distincts, mais leur ensemble comme un tout unique et complet, sans quoi l'on n'aurait que l'idée de plusieurs unités, non l'idée d'une collection. Pour nous servir d'une comparaison, l'idée d'unité ou de totalité joue dans l'idée de nombre le rôle du fil qui retient ensemble les perles d'un collier : supprimez le fil, vous avez encore des perles, vous n'avez plus un collier. C'est pourquoi, dans la définition du nombre entier, nous avons préféré le mot « collection » au mot « pluralité », parce qu'il indique mieux l'acte de l'esprit qui réunit les unités éparses pour s'en former un nouvel objet.

Cela est surtout manifeste quand on effectue le dénombrement d'une collection d'objets concrets. En effet, que la collection soit donnée dans sa totalité, ou qu'on la compose par l'accumulation progressive des objets 2, elle doit être considérée comme achevée pour qu'on puisse lui assigner un nombre, car autrement on ne saurait pas où s'arrêter dans le dénombrement. C'est à ce prix qu'une collection constitue, non une multiplicité indéfinie, mais une pluralité fermée, et possède par suite un nombre unique et déterminé.

3. Ces considérations permettent de compléter la critique de la

i. Cf. Leirxitz, de Arte combina toria (1666), Proœmium : <» .... parles, sumln; cum unione [dicuDtur] Totum. Hoc conlingit quolies plurasimul lanquam l'num supponimus.... Ipsum totum abstractum ex unitatibus, seu totalitas. ilicilur Sumcrus. •

2. Le premier cas a lieu quand on donne une collection toute faite d'objets à compter; le second cas. quand on demande de tirer d'une multitude indéfinie d'objets une collection contenant un nombre donné d'objets [i, 5, licmarque].

théorie empiriste sur un point essentiel. Nous avons, croyons-nous, suffisamment établi [Ch. n, 5] que l'acte du dénombrement suppose Tidée d'unité; mais on aurait pu nous objecter, non sans quelque vraisemblance , qu'il n'impliquait pas nécessairement l'idée de nombre; par conséquent, il n'est pas encore absolument prouvé que l'idée de nombre soit antérieure au dénombrement, et ne puisse en être issue. C'est seulement à présent que nous pouvons affirmer que le dénombrement, loin de créer l'idée de nombre, la présuppose : car il ne suffît pas, pour pouvoir dénombrer une collection donnée, que chacun des objets soit conçu comme un et réduit par la pensée à une unité permanente et identique; il faut en outre que la collection tout entière possède les mêmes caractères d'unité et d'identité, au moins provisoires, mais aussi durables que le dénombrement luimême. Mais alors elle est conçue comme une pluralité ou une totalité d'unités, c'est-à-dire précisément comme un nombre entier.

Nous pouvons maintenant conclure que le dénombrement n'engendre pas l'idée du nombre entier de la collection considérée, car du moment où l'on pense celle-ci comme une collection d'unités, cette idée existe dans l'esprit de celui qui la compte. Le dénombrement ne sert qu'à prendre une connaissance explicite du nombre déjà pensé et implicitement déterminé, ou plutôt à en trouver le nom et la représentation en chiffres, c'est-à-dire à en traduire l'idée dans la numération parlée ou écrite. Ce qui fait illusion à cet égard, et donne lieu de croire que l'on découvre effectivement un nombre par cette opération, c'est, d'une part, que l'on se ligure ne pas connaître un nombre tant qu'on n'en possède pas le signe verbal ou écrit, qui est sans doute commode et même nécessaire pour le soumettre au calcul ou le transmettre à autrui, mais qui n'en est cependant qu'une représentation tout à fait conventionnelle, et nullement essentielle. D'autre part, on ne prend pas en général la peine de définir d'avance, avec rigueur et précision, ni les unités constitutives de la collection, ni la collection elle-même considérée connue un tout. On entreprend tout de suite le dénombrement, et Ton ne confère l'unité aux objets qu'au fur et à mesure qu'on les compte, de sorte qu'on peut s'imaginer que les unités sont données toutes faites, et qu'on les constate en les comptant : il semble que l'on ne connaisse le nombre total de l'ensemble qu'au moment où, le dernier objet étant compté, la collection se trouve, épuisée ; et en effet, c'est à ce moment seulement que l'ensemble des unités

dénombrées se trouve réellement pensé dans sa totalité. Mais cela même confirme notre thèse, loin de rébranler : ce n'est pas par le dénombrement qu'on a découvert le nombre des objets à compter : c'est pour les dénombrer qu'on a été obligé de concevoir leur nombre; l'idée du nombre n'est pas le résultat du dénombrement, elle en est la condition.

4. Il s'ensuit que le nombre (cardinal) d'une collection donnée est absolument indépendant de la manière dont on la dénombre, et de l'ordre suivi dans le dénombrement (axiome de l'invariance du nombre). Bien plus : il ne dépend même pas de la possibilité du dénombrement. En effet, il existe dés que la collection est donnée dans sa totalité, et que les unités qui la composent sont données. 11 faut bien remarquer que cette condition n'implique nullement que la collection doive être finie, c'est-à-dire que le dénombrement ait une fin; elle exige seulement que la collection soit déterminée, c'est-àdire qu'elle constitue un ensemble bien défini d'unités bien définies. L'opération empirique appelée dénombrement n'est qu'un moyen pratique, entre beaucoup d'autres, de trouver le nombre cardinal d'une collection, mais celui-ci est par essence antérieur à tout dénombrement effectif, et ne dépend pas plus du procédé employé pour le déterminer, que le poids d'un corps, par exemple, ne dépend de la forme et de la construction de l'instrument (balance, romaine, bascule, peson, etc.) employé à le mesurer; et, de mémo que certains poids dépassent la portée de tel ou tel instrument, ou même de tous les instruments, et ne peuvent être déterminés que par le calcul (le poids des astres, par exemple), de même il se peut que certains nombres échappent au procédé du dénombrement ordinaire, et ne soient accessibles qu'à d'autres méthodes.

5. Les considérations que nous venons de développer nous amènent à traiter une question dont la solution est préparée par la discussion précédente, et inversement jettera quelque lumière sur nos conclusions, qu'elle servira à confirmer. Il s'agit de savoir si l'idée de nombre dépend de l'idée de temps, ou de celle d'espace, ou même de toutes deux. Cette question a été posée et résolue pour la première fois par Kant, et a été souvent agitée depuis lors. On sait que pour Kant le nombre est un de3 schèmes des concepts purs de l'entendement : c'est le schème pur de la quantité '. Or, selon une

4. Voir Critique de la liaison pure. Analytique transcendentale, Analytique des Principes, chap. i : Schématisme des concepts purs de l'entendement.

vue systématique de l'auteur, tous les schèmes sont des déterminations transcendantales du temps, parce que le temps, forme a priori du sens interne, est le seul intermédiaire possible entre le concept pur a priori et l'intuition sensible, et peut seul servir & subsumer les objets d'expérience sous les catégories de l'entendement pur, étant à la fois homogène au phénomène empirique, en tant que multiplicité, et au concept pur, en tant qu'universel et a priori f . 11 faut donc que le temps figure dans la définition du nombre, puisque tout schème est un produit de l'imagination déterminant a priori la forme du sens interne. Aussi Kant a-t-il déûni le nombre : « l'unité de la synthèse d'une diversité d'une intuition homogène en général » (ce qui répond à peu près à notre définition) « en introduisant le temps lui-même dans l'appréhension de l'intuition. » S'il nous est permis d'apprécier cette formule en la comparant à notre analyse de l'idée de nombre, faite d'une manière indépendante et sans aucune préoccupation de système, nous pourrons en accepter la première partie, qui met bien en lumière l'unité synthétique de l'idée de nombre, tout en regrettant que l'auteur n'ait pas explicitement indiqué que l'idée d'unité constitue aussi l'élément essentiel du nombre. Mais nous ne croyons pas que la seconde partie de la déflation kantienne soit nécessaire, ni même admissible, car nous pensons que, pour former l'idée de nombre, il n'est nullement indispensable d'appréhender la multiplicité donnée sous la forme du temps. C'est du moins ce qui nous parait résulter des discussions qu'on a lues précédemment.

6. En efTel, la définition kantienne du nombre ne se justifie que dans la théorie que nous avons appelée nnpiriste. 11 est certain que si le nombre ordinal est la forme primitive du nombre, et si le nombre cardinal naît du dénombrement des collections perçues, l'idée de nombre entier implique un ordre et une succession, et par suite le temps : l'acte de compter des objets ne peut être que successif, et conséquemment la notion de leur nombre suppose à la fois la durée des objets dénombrés et la durée de celui qui les compte. D'ailleurs, IIi;lmuoltz, tout en déclarant combattre l'apriorisme kantien, parait

1. On ne peut s'empêcher «le remarquer une analogie curinise entre celte théorie du schématisme et la doctrine platonicienne de> nombres, telle que la rapporte Ahimoik IMtfaphysi'/uv, :)8~ b i'.\) : ïx: Zï -aoic -t aiTOr.tà xai -rà Etôr, 'i \xx()rtu.3.-'./.x Tfliv Tî^xyîxiTMV sïvat y-r,?'. ia£tx!;0, oiaçioovTX :wv jjlsv atvOrjcov tm âtcia y. ai àxivr, -ra ilvai. tmv ôYtS&v 7<î> Ta {aîv Tro/./.'aTta ouv.a îtvai. cô 6'eiog; aCcrb ïv sxaiTOv aôvov.

CU. IV. — LE NOMBRE, i/ESPACE ET LE TEMPS 353

adopter le parallélisme établi par Kant entre la Géométrie, science de l'espace, et l'Arithmétique, science du temps : la première s'appliquant a priori aux objets du sens externe (dont l'espace est la forme pure), la seconde aux objets du sens interne (dont la forme pure est le temps), c'est-à-dire à tous les objets d'expérience, le temps étant la forme universelle de la conscience '. En cela l'auteur est conséquent avec sa théorie « ordinale » du nombre, où l'idée d'ordre et de succession est essentielle et primordiale. Aussi dit-il fort bien : « La numération (dos Zâhlen) suppose que l'on peut conserver par la mémoire la suite des états de conscience qui se sont succédé dans le temps » '. On peut remarquer, en passant, que l'auteur reconnaît implicitement la nécessité d'un acte synthétique de l'esprit pour constituer le nombre; seulement, à l'exemple de Kant, il fait intervenir le temps dans cette appréhension, de sorte que la suite « régulière » des nombres ordinaux se déroule nécessairement dans la durée 3. 11 en résulte que cette suite est irréversible, car on ne peut passer indifféremment d'un nombre au précédent ou au suivant : il faut toujours avancer dans rénumération, et il n'est jamais permis de reculer et de revenir à un terme antérieur. Les nombres écoulés diffèrent qualitativement de ceux qui suivent, de même que, dans la conscience qui dure, le passé se distingue de l'avenir : les uns sont posés, donnés, les autres ne le sont pas encore ; les premiers engendrent les derniers, mais ceux-ci ne peuvent inversement engendrer ceux-là. La suite naturelle des nombres a donc un sens unique (eindeutig) et pour ainsi dire une pente, comme le cours du temps : on peut toujours la descendre, on ne la remonte jamais 4.

1. Cette doctrine a été soutenue en Angleterre par sir William Rowan Hamiltok, l'illustre inventeur des quaternions, qui a défini l'Algèbre comme « the science of pure time ». Le savant mathématicien M. Cayley s'est prononcé à la fois contre la théorie kantienne de sir W. Hamiltos et contre l'empirisme de J. Stuart Mill dans un Discours fort intéressant prononcé devant les membres de l'Association britannique, et traduit par M. Rafft ap. Bulletin des sciences mathématiques, 2* série, t. VIII (1884).