lbid.y p

4. L'analogie de la suite naturelle des nombres avec le cours du temps, fondée sur son caractère d'irréversibilité, se confirme par cette remarque que les séries simultanées d'objets qu'on peut ranger dans l'espace sont au contraire essentiellement réversibles : ainsi une suite de points sur une ligne peut être indifféremment parcourue en deux sens inverses. C'est même, comme on l'a vu dans notre première Partie [Liv. 1U, chap. u, 4], parce que la ligne droite est susceptible de deux sens opposés, que Ton est naturellement amené a compléter l'ensemble des nombres arithmétiques (ou positifs) par l'ensemble symétrique des nombres négatifs. C'est en ce sens, mais en ce sens seulement, qu'on peut

7. Ainsi, suivant la théorie empiriste, l'idée de nombre implique la succession, et non la simultanéité : car si Ton peut compter des objets non situés dans l'espace et échelonnés dans le temps, on ne peut compter les objets, même simultanés, que dans le temps '. Mais on pourrait tout aussi bien soutenir que l'idée de nombre implique la simultanéité, et non la succession; qu'elle est en principe indépendante de la durée, et repose au contraire uniquement sur l'intuition de l'espace. En effet, de l'aveu même de Helmholtz, pour former l'idée de nombre cardinal, il faut conserver par la mémoire l'ensemble des nombres employés au dénombrement : qu'est-ce à dire, sinon que l'unité synthétique qui constitue proprement le nombre entier est le résultat dune aperception simultanée de toutes les unités composantes? Et en effet, l'on n'aboutirait jamais à un nombre si l'on oubliait les objets dénombrés à mesure qu'on les compte. Il faut, pour concevoir le nombre cardinal, ramasser dans une intuition instantanée toutes les unités précédemment énumérées, récapituler l'acte progressif du dénombrement dans un acte synthétique de l'esprit, et transformer la succession des objets dénombrés en une simultanéité. Ce n'est donc que dans la conscience d'une pluralité coexistante d'unités que Ton acquiert l'idée de nombre. Ce qui constitue cette idée, ce n'est pas l'énumération successive des objets conçus chacun comme une unité, c'est leur appréhension simultanée.

Cette conclusion est valable même dans la théorie empiriste, dont nous venons de la faire logiquement sortir; à plus forte raison s'impose-t-elle si, comme nous le soutenons, l'idée primitive du nombre est le nombre cardinal, et si par conséquent le nombre

justifier les nombres négatifs, et prolonger la soustraction régressive de l'unité au-dessous de zéro, comme le propose Helmholtz (p. 34) [cf. Chap. i, 1]; car si l'on se place en un point quelconque de la droite, il n'y a pas de raison pour avancer d'un côté plutôt que de l'autre, les deux demi-droites qu'il détermine étant parfaitement symétriques et indiscernables. Ainsi, tant que les nombres ordinaux sont conçus comme successifs, leur suite n'a qu'un sens naturel, et l'on ne peut remonter au delà de son origine, le nombre 1. Mais si l'on rend les nombres simultanés en les projetant dans l'espace et en les appliquant à la ligne indéfinie, on peut parcourir leur suite dans un sens ou dans l'autre, et comme ces deux sens opposés correspondent aux deux opérations inverses de l'addition et de la soustraction, celle-ci doit pouvoir se prolonger indéfiniment comme celle-là, la ligne étant illimitée dans les deux sens. On n'a donc pas le droit, dans la théorie empiriste, d'introduire les nombres négatifs, car on y conçoit la suite des nombres comme essentiellement successive et irréversible. 1. C'est ce qui explique le passage où Helmholtz déclare que sa définition « ordinale » du nombre entier est dégagée de tout appel à l'expérience, et ne repose que sur l'intuition interne. Il semble donc admettre, avec Kant, que le temps est la forme a priori du sens interne (p. 33-31).

entier est, par essence, indépendant des idées d'ordre et de succession. En effet, tandis que tout nombre engendré par l'addition successive de ses unités doit être finalement conçu sous la forme simultanée, on peut avoir d'abord l'intuition simultanée d'un nombre sans avoir besoin de le projeter dans le temps et de disperser ses unités dans la durée. Cela est manifeste pour les premiers nombres entiers : on peut penser en même temps les deux extrémités d'un segment linéaire, les trois sommets d'un triangle, les quatre côtés d'un carré, etc., sans imposer à ces objets aucun ordre déterminé et sans les compter successivement !. Or si cela est vrai des plus petits nombres, cela doit être encore vrai de tous les autres, qui n'en diffèrent que du plus au moins. Donc, lors même qu'on ne prend une connaissance explicite d'un nombre que par un dénombrement, c'est-à-dire par l'énumération de ses unités, il faut toujours terminer cette opération parl'aperception simultanée delà pluralité dénombrée; il faut que l'esprit embrasse et enveloppe tous les objets comptés dans une seule intuition, qui transforme la pluralité en totalité, c'est-à-dire en nombre.

8. D'ailleurs, pour se convaincre de la justesse de ces conclusions, il suffit de scruter attentivement les conditions psychologiques du dénombrement. La mémoire y intervient doublement, et des deux côtés : non seulement elle doit conserver la suite des nombres déjà énoncés, mais encore elle doit garder le souvenir des objets déjà comptés, et cela jusqu'à la fin du dénombrement. H faut donc qu'à ce moment final tous les objets comptés soient présents à la conscience, d'une manière plus ou moins explicite, et c'est grâce à cette aperceplion de leur totalité que l'idée de nombre peut naître; disons mieux : c'est cette aperception qui l'engendre. Sans doute, si l'on a l'intuition simultanée des trois angles d'un triangle, on peut dire que pour connaître le nombre des sommets d'un dodécagone il ne suffit pas d'un coup d'œil, et qu'il est nécessaire de les compter l'un après l'autre. Mais pour pouvoir les compter « sans omission ni répétition », et arriver en fin de compte à un nombre certain et déterminé, il faut bien conserver le souvenir de ceux qu'on a déjà comptés, jusqu'à ce qu'on en ait épuisé la collection; donc, lorsqu'on

i. On pourrait soutenir, à la rigueur, que l'intuition d'une pluralité est toujours successive, et que, si elle paratt simultanée, c'est grâce à l'habitude qui la rend très rapide et presque instantanée. Le paragraphe suivant répond à celte objection.

sera parvenu au dernier, on devra avoir l'intuition simultanée de tous les sommets, sans quoi Ton ne pourrait savoir si on les a tous comptés, ni même affirmer qu'on est arrivé au dernier. Si, par hypothèse, an oubliait les sommets à mesure qu'on les compte, on continuerait indéfiniment Ténumération en tournant autour du polygone, et Ton n'obtiendrait jamais un nombre. Ainsi le dénombrement , n'aboutit à un résultat valable que grâce & un acte synthétique par 'lequel l'esprit totalise la collection dénombrée, et cet acte ne peut être que simultané.

■ Les mêmes raisonnements s'appliqueraient évidemmen d une collection quelconque, lors même qu'elle n'offrirait pas, comme celle que nous avons prise pour exemple, un ordre circulaire, périodique et fermé. Quelles que soient la nature et la disposition des objets à compter, il faut toujours savoir quels sont ceux qu'on a déjà comptés et quels sont ceux qui restent à compter, sans quoi l'on ne serait jamais sûr d'avoir dénombré la collection dans sa totalité. Et qu'on ne croie pas satisfaire à ces conditions par des expédients matériels et des procédés empiriques, en marquant les objets comptés ou en les déplaçant : car tous ces artifices ne sont que des signes, et n'ont de valeur que si l'on se rappelle le sens qu'on leur attribue; ils peuvent bien faciliter l'opération intellectuelle, ils ne la remplacent pas. C'est ainsi, pour prendre une comparaison vulgaire, qu'un nœud fait & un mouchoir ne dispense pas d'avoir de la mémoire, car encore faut-il se rappeler pourquoi l'on a fait ce nœud. De même, aucun numérotage n'exempte l'esprit, non seulement de concevoir préalablement chaque objet comme uny mais encore de concevoir finalement la collection comme une. Soit que l'on constitue la collection par la réunion progressive de ses éléments, soit qu'au contraire on les enlève un à un pour les compter, il faut toujours savoir, dans un cas, si elle est complète, dans l'autre, si elle est épuisée, et conséquent ment la penser à un moment donné dans sa totalité.

9. Ces remarques achèvent de caractériser l'opération psychologique du dénombrement et d'en préciser les conditions rationnelles. Si les objets dénombrés ne faisaient que traverser la conscience, lors même qu'ils revêtiraient au passage la forme de l'unité, on ne pourrait encore avoir l'idée de leur nombre. Penser un, puis un, puis un,... ce n'est pas concevoir un nombre : c'est penser toujours un, indéfiniment. Pour pouvoir sortir de la catégorie d'unité, il faut, non seulement conférer tour à tour l'unité aux divers objets qui s'égrènent

. «.- - ■ -r-»- ;;-- k*« .~-r. -. -t>t-t- ■. - -..-, -;-""*■ "' 'V'-.1**"7 :^"*^^r"7^.vpr^"'-*Firrrx^-s^,-v.v^.:

pour ainsi dire dans la durée, mais avoir conscience de leur diversité et de leur multiplicité ; or on ne peut les comparer et les distinguer que dans une intuition simultanée où Ton rassemble toutes ces unités éparses dans le temps. Le dénombrement ne consiste donc pas. seulement dans rénumération successive des objets comptés, mais encore et surtout dans la synthèse progressive des unités correspondantes. La véritable formule du dénombrement n'est pas, comme le prétend la théorie empiriste ' : « Premier, deuxième, troisième, quatrième,.... » mais : « Un, deux, trois, quatre,.... » c'est-à-dire, plus explicitement : « Un et un, deux; et un, trois; et un, quatre;.... » de sorte qu'à la fin de l'opération ce n'est pas seulement le dernier objet que l'on considère, mais bien la collection tout entière que l'on résume dans l'unité synthétique du nombre [cf. Ch. ni, 12]. 10. Est-ce à dire que l'idée de nombre repose nécessairement sur l'intuition de l'espace, forme du sens externe et lieu des perceptions simultanées? Il semble que cette conclusion s'impose à la suite de la discussion qui précède, et les exemples géométriques que nous avons employés paraissent la confirmer. Néanmoins, pour qu'elle fût une conséquence inévitable de la thèse que nous soutenons, à savoir que la forme essentielle de l'idée de nombre est la simultanéité, et non la succession, il faudrait que l'espace fût la forme nécessaire de toute simultanéité. Or cela ne nous parait nullement établi, même pas pour les perceptions simultanées, soit d'un même sens, soit de plusieurs sens différents : on peut en effet percevoir simultanément une multiplicité de sons, d'odeurs, de saveurs, sans les distribuer et les extérioriser dans l'espace. Mais, en admettant même que l'espace soit la forme universelle du sens externe, il ne serait pas encore prouvé que les idées et en général les états de conscience simultanés fussent soumis à cette forme. En effet, selon la doctrine kantienne, que nous combattons ici, le temps seul est la forme du sens interne, c'est-à-dire de la conscience ; or nos états de conscience simultanés y sont soumis au même titre que les états successifs, car la simultanéité est une relation temporelle aussi bien que la succession. Pour affirmer que toute simultanéité revêt la forme spatiale, il faudrait admettre comme rigoureuses ces formules un peu trop simples

1. Adoptée notamment par le Dr Whewell et Royer-Collard, d'après M. Pillon {Année philosophique 1890, p. 148, note). Nous sommes bien aise de constater que M. Pillon n'admet pas celte théorie, et la réfute par quelques remarques topiques. Cette concession nous sera précieuse quand nous discuterons la Critique de Vin fini [Livre 111].

de Leibnitz : « L'espace est l'ordre des coexistences, le temps est Tordre des successions », et soutenir que la conscience est pure succession, ce qui est une absurdité manifeste, la succession n'étant concevable et perceptible que par rapport à la simultanéité. Rien n'empêche donc, même au point de vue de Y Esthétique tramcendantale, de considérer le nombre comme l'objet d'une aperception simultanée (et non d'une appréhension successive) sans pour cela introduire l'étendue (non plus que la durée) dans cette aperception.

11. Il est vrai que le schématisme des concepts purs de l'entendement exige que le nombre, schème de la quantité, soit une détermination transcendantale du temps. On nous permettra de ne pas discuter ici cette théorie de Kant : au surplus, nous ne serions pas le premier qui ait reproché au grand critique l'abus des classifications systématiques, qui engendre de fausses symétries et des analogies forcées. Nous ne voyons pas, par exemple, pourquoi l'espace ne pourrait pas fournir, aussi bien que le temps, des schèmes appropriés aux catégories de la quantité. Il est certain que si l'étendue n'est pas la forme nécessaire de toute simultanéité, elle est du moins le type et le schème naturel des multiplicités simultanées : de sorte qu'il est difficile, peut-être même impossible, de concevoir le nombre sans lui associer quelque image spatiale qui lui serve de support. Mais il en est de même pour toutes nos idées : or, bien que nous soyons portés à projeter nos concepts dans l'intuition et à leur donner une représentation sensible, l'idée n'en est pas moins essentiellement distincte de l'image qui la porte pour ainsi dire et la figure aux yeux de l'imagination; et c'est une grave question que de savoir dans quelle mesure l'idée peut exister sans un véhicule intuitif, et si l'on peut penser sans images. Peut-être l'étude à laquelle nous nous livrons sur l'idée d'infini contribuera-t-elle à résoudre cette question, car s'il y a une idée dont on ne puisse trouver d'image, c'est bien sans doute celle de l'infini. Quoi qu'il en soit, nous ne pouvons accepter d'avance la théorie kantienne du schématisme en ce qui concerne le nombre, car il s'agit précisément de savoir si le nombre implique une intuition quelconque.

Or, si nous résumons la discussion précédente, nous trouvons que l'idée de nombre, telle qu'on la définit dans la théorie rationaliste, n'implique pas la durée; et que, bien qu'elle enveloppe nécessairement une pluralité simultanée, elle n'implique pas non plus l'étendue. Nous croyons donc pouvoir conclure que l'idée de nombre est,

en principe, indépendante des formes de l'espace et du temps '. Sans doute, pour qu'on puisse concevoir cette idée, ou plutôt pour qu'on ait occasion de la former, il faut évidemment qu'une multiplicité indéfinie soit donnée dans l'intuition, sous une forme d'ailleurs quelconque. Il n'y a rien d'absurde, même dans la doctrine de Kant, à supposer qu'il existe des êtres dont la sensibilité revêt des formes a nous inconnues, différentes de l'espace et du temps de notre intuition : pourvu que leur entendement possède les mêmes formes que le nôtre (et il les possédera, à moins qu'il ne soit intuitif), ils construiront les mêmes idées numériques que nous. Cette fiction montre bien que l'idée de nombre ne dépend nullement de la forme spéciale sous laquelle on appréhende la multiplicité hétérogène qui lui sert de matière ou plutôt de substratum : car si les êtres que nous imaginons ont nécessairement la même Arithmétique que nous, ils peuvent fort bien avoir une autre Géométrie que la nôtre, ou même n'avoir aucune Géométrie.

12. Remarquons bien que la multiplicité indéfinie * que nous postulons comme la seule condition empirique de l'idée rationnelle du nombre, n'implique nullement une notion de nombre, de quantité ou de grandeur quelconque. En dépit de l'étymologie (multiplex, mu l tus) il ne faut pas croire que les données immédiates et brutes des sens soient par elles-mêmes plusieurs plutôt qiïune, et enveloppent d'avance le nombre déterminé que l'on y découvrira par le dénombrement. Il est certain, au contraire, que l'expérience ne fournit jamais des unités toutes faites, et n'offre par conséquent aucune détermination numérique intrinsèque, car on ne perçoit pas l'unité d'un objet comme on perçoit sa couleur. Aussi l'idée de nombre ne peut-elle s'expliquer, on l'a vu [Ch. m, 7 et 9], par l'abstraction et la généralisation appliquées à la perception, comme les concepts de genres et d'espèces, que Ton désigne couramment sous le nom d' « idées générales ». L'idée de nombre a une origine plus rationnelle et un caractère plus a priori que ces résidus de la sensation et de l'imagination élaborés par l'entendement. Tandis que, par exemple, nous n'aurions jamais formé les concepts de cheval et de chien si nous n'avions jamais connu par expérience les animaux

4. C'est l'opinion émise par M. Cayley (loc. cit.), bien que ce savant, par une inconséquence singulière, admette que le nombre cardinal est dérivé du nombre ordinal.