XX INTRODUCTION

critique revient donc en définitive à celle-ci : Quels sont les rapports du Nombre et de la Grandeur?

Gomme on le voit, c'est, au fond, de la valeur objective du Galcul infinitésimal qu'il s'agit, c'est-à-dire de la légitimité de son application aux grandeurs physiques, et par suite de la possibilité de soumettre les phénomènes naturels à des lois mathématiques. G'est aussi et avant tout de sa valeur logique, qui a été si longtemps discutée, et qui est encore contestée ou méconnue de nos jours par certains philosophes. G'est enfin et surtout de la valeur et même de l'existence positive des idées d'infini et de continu, sur lesquelles repose l'Analyse tout entière. Mais on voit en même temps que cette question, qui a été autrefois débattue d'une manière souvent si confuse et si obscure, se ramène à une question tout à fait élémentaire, et se pose à présent dans les termes les plus simples et les plus clairs : car l'application des nombres aux grandeurs consiste principalement dans la mesure des grandeurs, dont la notion est familière à tout le monde. Il s'agit donc, en somme, de savoir à quelles conditions les grandeurs sont mesurables, et dans quel sens cette opération (de l'esprit) est possible et légitime.

Cette étude nous amènera naturellement à rechercher l'origine respective des idées de nombre et de grandeur, et à décider si elle est a priori ou a posteriori. Les savants, avons-nous dit, considèrent les grandeurs en général, et les grandeurs géométriques en particulier, comme des données expérimentales, et c'est pourquoi ils s'efforcent d'édifier toute l'Analyse avec la seule notion du nombre, qu'ils regardent comme l'unique base rationnelle de la Mathématique. Nos recherches aboutiront à une conclusion toute contraire : l'Analyse ne repose pas, selon nous, sur l'idée de nombre, quelque extension qu'on lui donne, mais sur l'idée universelle de grandeur : or cette idée ration-