CU. IV. — LE NOMBRE INFINI

nelle de l'unité. Le nombre est donc le produit d'une double application de Tidée d'unité à une multiplicité donnée, car, aucun objet concret n'étant absolument simple, chacune des unités qui constituent le nombre est déjà l'unité d'une multiplicité. On peut dire qu'il est la synthèse de l'un et du multiple, au second degré ou à la seconde puissance : car il est V unité d'une pluralité d'unités.

14. Il est facile de tirer de la théorie précédente les conséquences qui en découlent naturellement au sujet de la possibilité logique du nombre infini. Selon la théorie empiriste, avons-nous dit [Gh. i, 9], il n'y aurait pas de nombre infini, parce que, par construction, tous les nombres ordinaux de la suite naturelle sont finis, et que, par définition, tout nombre cardinal dérive d'un nombre ordinal. D'ailleurs, la suite naturelle des nombres ne peut être infinie dans cette théorie, car l'ensemble des signes

tous différents entre eux, est nécessairement fini. Sans doute, on peut toujours en inventer de nouveaux qu'on rangera à la suite des précédents; mais leur nombre sera évidemment limité, comme la mémoire et l'imagination humaines. N'oublions pas, en effet, que l'invention de ces signes est absolument arbitraire, et que leur ordre de succession est tout à fait conventionnel : il n'y a donc pas de raison pour créer un nouveau nombre consécutif au dernier, et en tout cas cette création est entièrement gratuite. D'autre part, pour employer cette suite de signes, qu'aucun lien rationnel ne rattache les uns aux autres, au dénombrement des objets donnés, il faut la retenir tout entière par la mémoire, ce qui ne peut se faire que si leur nombre est fini, et même très limité. Pour toutes ces raisons, la suite naturelle des nombres est finie, ou tout au plus indéfinie, en ce sens que son dernier terme peut être aussi éloigné qu'on veut, et reculé à volonté ; mais elle en aura toujours un dernier.

15. On pourrait, il est vrai, nous objecter que la numération (parlée ou écrite) permet de former progressivement tous les nombres imaginables avec un petit nombre de signes distincts (les dix chiffres de la numération décimale !). — Mais tout système de nu'mé-