Cf. Krohbcker, Ueber den Zahlbegriff

ration suppose définies les notions de somme, de produit et de puissance, de division et de reste * ; la numération est donc postérieure logiquement (sinon dans renseignement) à la théorie des nombres entiers et de leurs opérations; ce n'est qu'un moyen commode d'exprimer et d'écrire les nombres déjà pensés, mais ce ne saurait être une méthode légitime pour les construire primitivement et s'en former d'abord une idée. La théorie des opérations fondamentales est indépendante du système de numération adopté; elle peut et doit être constituée sans spécifier ce système, dont le choix résulte d'une convention, et qui repose sur les propriétés essentielles des nombres préalablement construits et idéalement posés. Aussi la théorie empiriste est-elle obligée de définir toutes les opérations sur les nombres entiers au moyen de cette « provision de signes » * rangés dans un ordre fixe et déterminé, qui est pour elle la seule base, la seule donnée primordiale de l'Arithmétique : or cet alphabet numérique, dont chaque lettre est le résultat d'une institution arbitraire et doit différer de toutes les autres, ne peut être que fini, et ne peut même pas être prolongé indéfiniment. On aperçoit aisément la difficulté ou plutôt l'impossibilité qu'il y aurait à édifier l'Arithmétique sur de tels fondements : car, si grand que fût le nombre des signes créés et adoptés (un millier ou un million, par exemple), cette « provision » ne suffirait pas aux besoins des calculs les plus élémentaires, de sorte que ceux-ci ne seraient pas toujours possibles sur tous les nombres de l'ensemble considéré. Concluons donc que, si la théorie empiriste rend le nombre infini impossible, elle rend en même temps impossible la construction logique de la science du nombre. 16. Et encore, est-il bien sûr que dans la théorie empiriste le nombre infini soit impossible? Tout ce qu'on peut affirmer, c'est qu'il ne fait pas partie de la suite naturelle des nombres, ce qui est hors de doute et de contestation. Mais s'ensuit-il qu'on ne puisse créer, en dehors de cette suite, un autre nombre, ou même une autre suite de nombres, dits infinis, de la même manière qu'on a inventé la suite naturelle, c'est-à-dire par un acte arbitraire de l'esprit? Nullement. En nous plaçant un instant dans la conception purement « ordinale » du nombre entier, nous pourrions raisonner comme suit. Après tout nombre ordinal il y en a un autre (ou, si l'on

1. Voir CotmaoT, Coirespondance entre l'Algèbre et la Géométrie, chap. î, n° 5. Cf. 4" Partie, p. 78, note 1.

2. Expression de Kronecker, op. cit., p. 205, 206 des Aufȉtze.